安全库存公式的解析

安全库存公式：

在计算安全库存公式时，其实我们面对的是两个正态分布：

1. 供应周期的正态分布

2. 需求的正态分布

安全库存就是在这两个正态分布的上下浮动过程中能覆盖一定供应水平的一个标准差。

举例来说，标准正态分布的x取值范围在（-1.96，1.96）之间的时候，能覆盖95%的情况，所以当安全库存>1.96倍的标准差时，能提供一个95%的服务水平。

正态分布有可加性，所以上述的两个互相独立的正态分布可以合并为一个正态分布。这个合并后的正态分布的标准差就是计算安全库存的依据。

具体推导如下，以下为转载：

随机需求下的安全库存公式的证明

假设每日的需求服从正态分布N(R,δR),

R为日需求均值,δR为日需求标准差;

提前期服从正态分布时N(L,S);

L为提前期均值, S为提前期标准差;

则货物交付期需求服从正态分布N(R, δL)

即:货物交付期需求标准差:

δL ==

因为这个公式是在订货至交货周期和需求均不确定的情况下，所以证明如下：

• 需求不确定，但货物交付周期确定

在定数模型里，我们把再订货水平（货物交付期的需求）定义为货物交付周期和单位时间内的需求的乘积，即

ROL=L*RL

因为日需求服从正态分布，而且货物交付周期恒定，那么货物交付期内的需求也服从正态分布，并且大于1/2周期内的平均值。

如果针对某种产品的需求呈正态分布，并且单位时间内的平均需求量为R，标准差为δR,提前期恒定为L，那么

在第一个时间段里，需求的平均值为R，标准差的平方为δR²

在第二个时间段里，需求的平均值为2×R，标准差的平方为2×δR²

在第三个时间段里，需求的平均值为3×R，标准差的平方为3×δR²

在第L个时间段里，需求的平均值为L×R，标准差的平方为L×δR²

平均货物交付期内需求等于L×R，货物交付期内需求的标准差的平方等于L×δR²，标准差等于δR×L .通过服务水平我们可以计算出货物交付期内需求低于再订货水平的概率，因此，我们可以利用正态分布的特点计算出：

安全库存=z*δR*

Z代表特定服务水平所对应的平均值的标准差的数值。比如，95%的服务水平，意味着货物交付期内需求大于安全库存的情况有0.05的概率。通过查正态分布表，我们可以确定0.05的概率对应的z值等于1.65.

• 货物交付期不确定，但需求确定

上面我们证明了需求不确定，但货物交付期确定的模型。下面我们来证明货物交付期不确定，但需求确定的情况。如果单单考虑货物交付期内的平均值，会出现以下三种情况：

如果实际的货物交付期和提前期相等，我们可以实现理想化的状况.

如果实际的货物交付期小于提前期，在货物交付的时候，存货会出现存货过剩.

如果实际的货物交付期大于提前期，在货物交付之前，将会出现缺货.

这些存货方面的特点，与在需求不确定的情况下所呈现的特点非常相似。特别是当我们假定货物交付期是呈现正态分布的，并且预期在存货周期50%的时间里将会出现缺货。为了避免这些情况，我们仍然需要加入一些安全库存。在这种情况下，出现缺货的概率也就是货物交付期内需求大于再订货水平的概率了。

服务水平= Prob (L×RL<ROL)

        = Prob (RL<ROL/L)

货物交付期内的需求=日需求×提前期

因为服从正态分布的函数的均值和方差具有可加性:

若X～N(μ,σ²) ,则 aX～N(aμ,aσ²)

所以货物交付期内需求的平均值=R×L，

标准差=提前期标准差×日需求均值=S×R

• 订货至交货周期都不确定

如果我们假定货物交付期和需求都服从正态分布的话,就可以利用标准结果来计算.也就是说,当需求的平均值为R,标准差为δR,货物交付期的均值为L,标准差为S,那么货物交付期内需求的平均值为R×L，标准差为

δL =

证明如下：因为货物交付期内的需求=货物交付期×日需求，并且货物交付期和日需求都服从正态分布，二者相互独立，因此货物交付期需求也服从正态分布，

• 货物交付期需求均值=货物交付期均值×日需求均值，即，R= R× L
• 货物交付期的方差：

综合以上两种情况，即不确定性来源于提前期和日需求均值，

所以δL²= L×δR²+ S ²×R²

标准差δL=

安全库存S=z*σ

=安全系数*货物交付期需求标准差

=z*（证明在第一种情况中）

证毕。

今天的文章安全库存公式的解析分享到此就结束了，感谢您的阅读。