人工智能数学基础–导数2：高阶导数及莱布尼茨（Leibniz）公式

一、定义

一般地，函数y=f(x)的导数y’=f’(x)仍然是x的函数。我们把y’=f’(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数，记作y’‘或

即

相应地，把y=f(x)的导数f’(x)叫做函数y=f(x)的一阶导数。类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数······一般地，(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数，分别记作：
y”’,y⁽⁴⁾,…,y⁽ⁿ⁾
或

函数y=f(x)具有n阶导数，也常说成函数f(x)为n 阶可导。如果函数f(x)在点x处具有n阶导数，那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数。二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。

求高阶导数就是按前面学过的求导法则多次接连地求导数，若需要函数的高阶导数公式，则需要在逐次求导过程中，善于寻求某种对应的规律。

二、几个初等函数的高阶导数

1、指数函数y=e^x的高阶导数

y=e^x的高阶导数：y^（n）=(e^x)^（n）=e^x

2、正弦函数、余弦函数的高阶导数

y^（n）=(sinx)^（n）=sin(x+n×π/2）
y^（n）=(cosx)^（n）=cos(x+n×π/2）

3、对数ln(1+x)的高阶导数

y^（n）=[ln(1+x)]^（n）=(-1)^n-1(n-1)!/(1+x)^（n）

4、幂函数y=x^u的高阶导数

当n<=u时：

y^（n）=(x^u)^（n）=u(u-1)…(u-n+1)x^u-n

当u=n时，实际上上述公式的结果值为：n！，即：(xⁿ)^（n）=n!

当n>u时，(x^u)^（n）=0

三、高阶导数运算公式

1、加减法

(u ± v)^（n）=u⁽ⁿ⁾ ± v⁽ⁿ⁾

2、乘法

上述公式称为莱布尼茨（Leibniz）公式。例如：

(u v)”=u”v+2u’v’+uv”
(u v)”’=u”‘v+3u”v’+3u’v”+uv”’

四、小结：

本文介绍了高阶导数的定义、莱布尼茨（Leibniz）等高阶导数运算公式以及几个函数的高阶导数求导公式。

说明：

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