轻松理解卡尔曼滤波

此前学习和实现卡尔曼滤波花费了很多时间，其实想要理解其原理并不算很复杂。只是简单套用卡尔曼滤波的公式，而没有系统理解公式里面每个变量的缘来，不去理解卡尔曼滤波器的迭代过程和原理，在实现和调试系统的时候无疑是会找不着北的。本文将指引你轻松理解卡尔曼滤波。

1. 一个简单的场景

假设我们开发了一台无人机（假设它的名字是Eva），想要用它来在城市中送快递，Eva身上有一些传感器，可以让我们知道它的速度v(比如三维空间中沿x,y,z各轴的速度大小)，同时Eva身上还有GPS系统、气压计等设备，可以获知它的位置p(比如经纬度，海拔等)，也就是说我们可以实时**观测**Eva的状态。
那么我们可以把Eva的某一个时刻的状态表示为一个向量：

$$\vec{x} = \begin{bmatrix} p\\ v \end{bmatrix}$$

2. 不确定性和相关性

虽然我们比较肯定Eva此时的状态，但是无论如何系统总是会存在误差的，无论是计算上，还是传感器的检测上，所以我们只能认为当前状态是当前真实状态的一个最优估计。那么我们不妨认为Eva的当前状态服从一个高斯分布，如下图所示：

高斯分布的中心$\mu$就是图中的$\mathbf{\hat{x}}_k$:

$$\mathbf{\hat{x}}_k = \begin{bmatrix} \text{position}\\ \text{velocity} \end{bmatrix}$$

对于方差

σ2 σ 2
$\sigma^2$(也就是图中的椭圆的范围)，因为我们有两个变量，所以可以用一个协方差矩阵

Pk P k
$\mathbf{P}_k$来表示(如果对协方差矩阵还不了解，
戳此了解):

$$\mathbf{P}_k = \begin{bmatrix} \Sigma_{pp} & \Sigma_{pv} \\ \Sigma_{vp} & \Sigma_{vv} \\ \end{bmatrix}$$

所以Eva的真实状态可能就位于上图椭圆的范围内，位于圆心的概率最大。

3. 预测下一个位置的系统状态和系统误差

Ok，接下来我们需要通过Eva当前的状态，运用一些物理学的知识来预测它的下一个状态，通过简单的物理学知识，通过k-1时刻的位置和速度，可以推测下一个时刻的状态为：

$$\begin{split} \color{red}{p_k} &= \color{blue}{p_{k-1}} + \Delta t &\color{blue}{v_{k-1}} \\ \color{red}{v_k} &= &\color{blue}{v_{k-1}} \end{split}$$

写成矩阵形式就是：

$$\begin{aligned} \color{red}{\mathbf{\hat{x}}_k} &= \begin{bmatrix} 1 & \Delta t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \color{blue}{\mathbf{\hat{x}}_{k-1}} = \mathbf{F}_k \color{blue}{\mathbf{\hat{x}}_{k-1}} \end{aligned}$$

此处的

Fk F k
$\mathbf{F}_k$就是
状态转移矩阵。

Eva的系统误差通过协方差矩阵

Pk P k
$\mathbf{P}_k$来表示，根据协方差矩阵的性质：

$$\begin{split} Cov(x) &= \Sigma\\ Cov(\color{red}{\mathbf{A}}x) &= \color{red}{\mathbf{A}} \Sigma \color{red}{\mathbf{A}}^T \end{split}$$

那么我们所预测的Eva下一个时刻的状态误差为：

$$\begin{split} \color{red}{\mathbf{P}_k} &= \mathbf{F_k} \color{blue}{\mathbf{P}_{k-1}} \mathbf{F}_k^T \end{split}$$

4. 考虑系统内部控制

为了能让Eva到达任何地方，毫无疑问我们需要对它进行控制，比如加速和减速，假设某个时刻我们施加给Eva的加速度是$\color{green}{\mathbf{a}}$，那么下一时刻的位置和速度则应该为：

今天的文章轻松理解卡尔曼滤波分享到此就结束了，感谢您的阅读。