现代信号处理——时频分析与时频分布（Wigner-Ville分布）

一、Winger-Ville分布（WVD)定义

信号x(t)的自Wigner分布定义为其瞬时相关函数关于滞后 $\tau$ 的Fourier变换：

Winger于1932年提出并用量子力学。1948年Ville应用于信号分析，并讨论数学基础、时频分布的统一表示形式、WVD定义和性质等，论文、成果称“所有时频分布之母”。

两个时域信号卷积后的WVD等于各自WVD在时间轴上的卷积

两个信号相乘后的WVD等于各自WVD在频率轴上的卷积。当我们对无限长时域信号加窗截断时，只影响其频域分辨率，不影响其时域分辨率。

两个信号相加后的WVD，并不等于各自WVD的相加，还要加上两个信号的互WVD。这些互WVD是对相加后信号WVD的干扰，在时频分布中，称它们为交叉项干扰。

WVD的缺点

1、WVD有交叉项的存在，使得两个信号和的分布已不再是两个信号各自分布的和。

2、由于WVD是信号能量随时间一频率的分布，因此从理论上讲， $W_{x}(t,\Omega )$ 应始终为正。但由于 $W_{x}(t,\Omega )$ 是 $R_{x}(t,\tau )$ 的傅里叶变换，可以保证为实值，但不一定保证为非负。

三、常用信号的WVD

四、离散WVD的实现

与DFT一样，计算机上具体实现WVD必须进行：(1)对x(t)进行加窗截取(2）对t和Ω离散化

WVD的意义

1、将时频表示 $W_{x}(t,\Omega )$ 理解成时间-频率的能量分布(或“瞬时功率谱”）。能量化的时频表示 $W_{x}(t,\Omega )$ 把瞬时功率 $P_{x}(t)=|x(t)|^{2}$ 和谱能量密度 $P_{x}(j\Omega )=|X(j\Omega )|^{2}$ 两种概念综合在一起。不过由于Heisenberg的不确定原理，时间一频率平面上各点的时频能量密度这一概念是不可能成立的。因此时频表示的二次型是一种直观而合理的假设，因为能量本身就是二次型信号表示。

2、时频分布的信号二次型其线性特性受到破坏，即两个信号之和的时频分布不是各自时频分布之和，也就是产生了交叉项（相干项）。WVD的二次型形成（信号的相干形成）相对来说具有较好的时频分辨率(或称时频集聚），而且交叉项也相对较小。

五、时频分布的性能评价

时频信号分析的大多数应用与非平稳信号的多分量抽取有关。通常希望时频信号分析具有以下功能。

1、能够确定信号中存在的信号分量个数；

2、能够识别信号分量与交叉项；

3、能够分辨出在时频平面上相距很近的信号分量；

4、能够估计信号各个分量的瞬时频率。

时频分析方法的性能评价：时频聚集性和交叉项