数学建模评价体系模型_数学建模30种经典模型「建议收藏」

一、TOPSIS的应用场景

Topsis法，全称为Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution，中文常翻译为优劣解距离法，该方法能够根据现有的数据，对个体进行评价排序。根据有限个评价对象与理想化目标的接近程度进行排序的方法，是在现有的对象中进行相对优劣的评价。

下图中假设只有两个评价指标，因此是二维坐标。

TOPSIS法其中“理想解”和“负理想解”是TOPSIS法的两个基本概念。

• 所谓理想解是一设想的最优的解（方案），它的各个属性值都达到各备选方案中的最好的值
• 负理想解是一设想的最劣的解（方案），它的各个属性值都达到各备选方案中的最坏的值。

二、TOPSIS法的模型建立

主要步骤：

1. 原始决策矩阵正向化
2. 决策矩阵标准化
3. 计算得分并归一化

1.对原始决策矩阵正向化

构造决策矩阵$A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}$，每一列是一个评价指标，每一行是一条待评价样本。

有的数据是越大越好，有的数据是靠近某个值越好，有的是在一个区间中最好，这种不同的方向和区间让分析变得混乱，为了简化分析我们将数据进行正向化处理，都让他越大越好。

最常见的四种指标：

所谓的将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为
极大型指标。

• 极小型指标转化为极大型指标：
  使用公式
  $$\max -x$$
  如果所有的元素均为正数，那么也可以使用$\frac{1}{x}$
• 中间型指标转化为极大型指标：
  $${\bar{x}}_i=1-\frac{\left|x_i-x_{\text{best }}\right|}{\max \left(\left|X-x_{\text{best }}\right|\right)}$$
• 区间型指标转化为极大型指标：
  M = max ⁡ { a − min ⁡ { x i } , max ⁡ { x i } − b } , x ~ i = { 1 − a − x i M , x i < a 1 , a ≤ x i ≤ b 1 − x i − b M , , x i > b M=\max \left\{a-\min \left\{x_{i}\right\}, \max \left\{x_{i}\right\}-b\right\}, \tilde{x}_{i}= \begin{cases}1-\frac{a-x_{i}}{M}, & x_{i}<a \\ 1 & , a \leq x_{i} \leq b \\ 1-\frac{x_{i}-b}{M}, & , x_{i}>b\end{cases} M=max{
  a−min{
  xi​},max{
  xi​}−b},x~i​=⎩⎪⎨⎪⎧​1−Ma−xi​​,11−Mxi​−b​,​xi​<a,a≤xi​≤b,xi​>b​
  其中[a, b]是最佳区间。

2.决策矩阵标准化

标准化的目的是消除不同指标量纲的影响，常用方法有max-min标准化和Z-score标准化，本文介绍Z-score标准化。

假设有$n$个要评价的对象，$m$个要评价指标（已经正向化）构成的正向化矩阵如下：
$$X=\left[\begin{array}{cccc}{x}_{11}& x_{12}& \cdots & x_{1m}\\ x_{21}& x_{22}& \cdots & x_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ x_{n1}& x_{n2}& \cdots & x_{nm}\end{array}\right]$$
，记对其进行标准化的矩阵为Z，Z中的每一个元素通过如下公式计算：
$$z_{ij}=x_{ij}/\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_{ij}^2}$$
例：下表是5位同学身体相关参数，请用TOPSIS法来对同学身体情况进行一个综合的评价。

正向化后矩阵：

得到标准化后的矩阵：

3.计算得分并归一化

假设有$n$个要评价的对象，$m$个要评价指标构成的标准化矩阵如下：
$$Z=\left[\begin{array}{cccc}{z}_{11}& z_{12}& \cdots & z_{1m}\\ z_{21}& z_{22}& \cdots & z_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ z_{n1}& z_{n2}& \cdots & z_{nm}\end{array}\right]$$
定义最大值
Z + = ( Z 1 + , Z 2 + , ⋯   , Z m + ) = ( max ⁡ { z 11 , z 21 , ⋯   , z n 1 } , max ⁡ { z 12 , z 22 , ⋯   , z m 2 } , ⋯   , max ⁡ { z 1 m , z 2 m , ⋯   , z m m } ) \begin{array}{rlr} Z^{+} & =\left(Z_{1}^{+}, Z_{2}^{+}, \cdots, Z_{m}^{+}\right) \\ & =\left(\max \left\{z_{11}, z_{21}, \cdots, z_{n 1}\right\}, \max \left\{z_{12}, z_{22}, \cdots, z_{m 2}\right\}, \cdots, \max \left\{z_{1 m}, z_{2 m}, \cdots, z_{m m}\right\}\right) \end{array} Z+​=(Z1+​,Z2+​,⋯,Zm+​)=(max{
z11​,z21​,⋯,zn1​},max{
z12​,z22​,⋯,zm2​},⋯,max{
z1m​,z2m​,⋯,zmm​})​
定义最小值
Z − = ( Z 1 − , Z 2 − , ⋯   , Z m − ) = ( min ⁡ { z 11 , z 21 , ⋯   , z n 1 } , min ⁡ { z 12 , z 22 , ⋯   , z n 2 } , ⋯   , min ⁡ { z 1 m , z 2 m , ⋯   , z n m } ) \begin{aligned} Z^{-} &=\left(Z_{1}^{-}, Z_{2}^{-}, \cdots, Z_{m}^{-}\right) \\ &=\left(\min \left\{z_{11}, z_{21}, \cdots, z_{n 1}\right\}, \min \left\{z_{12}, z_{22}, \cdots, z_{n 2}\right\}, \cdots, \min \left\{z_{1 m}, z_{2 m}, \cdots, z_{n m}\right\}\right) \end{aligned} Z−​=(Z1−​,Z2−​,⋯,Zm−​)=(min{
z11​,z21​,⋯,zn1​},min{
z12​,z22​,⋯,zn2​},⋯,min{
z1m​,z2m​,⋯,znm​})​
定义第$i$个评价对象与最大值的距离$D_i^{+}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^m{\left(Z_j^{+}-z_{ij}\right)}^2}$

定义第$i$个评价对象与最小值的距离$D_i^{-}=\sqrt{{\sum }_{j=1}^m{\left(Z_j^{-}-z_{ij}\right)}^2}$

那么我们就可以计算得出第$i$个评价对象未归一化的得分：$S_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}$

很明显$0\le S_i\le 1$，且$S_i$越大$D_i^{+}$越小，即越接近最大值。

最后我们可以将得分归一化：${\tilde{S}}_i=S_i/\sum _{i=1}^m{S}_i$，可以得知$\sum _{i=1}^m{\tilde{S}}_i=1$

建模完毕。

三、TOPSIS与（组合）赋权法结合

假设有$n$个要评价的对象，$m$个要评价指标构成的标准化矩阵如下：
$$Z=\left[\begin{array}{cccc}{z}_{11}& z_{12}& \cdots & z_{1m}\\ z_{21}& z_{22}& \cdots & z_{2m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ z_{n1}& z_{n2}& \cdots & z_{nm}\end{array}\right]$$
可以使用层次分析法或者熵权法给这$m$个评价指标赋权
$$D_i^{+}=\sqrt{\sum _{j=1}^m{\omega }_j{\left(Z_j^{+}-z_{ij}\right)}^2}$$
$$D_i^{-}=\sqrt{\sum _{j=1}^m{\omega }_j{\left(Z_j^{-}-z_{ij}\right)}^2}$$

代码

基于熵权法对上例进行求解（matlab）。

%基于熵权法对于TOPSIS的修正
clear;clc;
load X.mat;
%获取行数列数
r = size(X,1);
c = size(X,2);
%首先，把我们的原始指标矩阵正向化
%第二列中间型--->极大型
middle = input("请输入最佳的中间值：");
M = max(abs(X(:,2)-middle));
for i=1:r
      X(i,2) = 1-abs(X(i,2)-middle)/M;
end
%第三列极小型--->极大型
max_value = max(X(:,3)); 
X(:,3) = abs(X(:,3)-max_value);
%第四列区间型--->极大型
a = input("请输入区间的下界：");
b = input("请输入区间的下界：");
M = max(a-min(X(:,4)),max(X(:,4))-b);
for i=1:r
       if (X(i,4)<a)
            X(i,4) = 1-(a-X(i,4))/M;
       elseif (X(i,4)<=b&&X(i,4)>=a)
           X(i,4) = 1;
       else
           X(i,4) = 1-(X(i,4)-b)/M;
       end
end
disp("正向化后的矩阵为：");
disp(X);
%然后对正向化后的矩阵进行熵权法赋权重
tempX = X;   %代替X进行计算的辅助变量，避免X受到影响而发生改变
%测试：tempX = [1,2,3;-1,0,-6;5,-3,2];
%标准化矩阵,消除负数项，并且把数值控制在0-1区间
min = min(tempX);
max = max(tempX);
min = repmat(min,size(tempX,1),1);
max = repmat(max,size(tempX,1),1);
tempX = (tempX-min)./(max-min);
%求出矩阵的概率矩阵，即能取到该值的概率
sumX = repmat(sum(tempX),size(tempX,1),1);
pX = tempX./sumX;
%求出信息熵矩阵,信息熵越大，能获得的信息就越少
temp = pX.*mylog(pX);
n = size(tempX,1);
sum1 = sum(temp);
eX =  sum1.*(-1/log(n));
%求出信息效用值
dX = 1-eX;
%求出每个指标的熵权
wX = dX./(sum(dX));
%打印输出
disp("每个指标依次的熵权为：");
disp(wX);

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