【SymPy】（一）SymPy简介[通俗易懂]

SymPy简介

SymPy的全称为Symbolic Python，是一款用于符号运算的python库。

1 什么是符号计算

符号计算以符号的方式处理数学对象的计算。这意味着数学对象是精确表示的，而不是近似表示的，带有未赋值变量的数学表达式是以符号形式保留的。

举个例子。假设我们想使用内置的Python函数来计算平方根。我们可以这样做

In [1]: import math

In [2]: math.sqrt(9)
Out[2]: 3.0

9是完全平方数，所以我们得到了确切的答案3。但是假设我们计算了一个非完全平方数8的平方根

In [3]: math.sqrt(8)
Out[3]: 2.8284271247461903

我们得到的是一个近似结果2.82842712475。但这不是8的精确平方根（实际上，8的实际平方根不能用有限的小数表示，因为它是一个无理数）。

怎么得到精确结果：$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$。这就需要用到符号计算了。在SymPy这样的符号计算系统中，非完全平方数的平方根在默认情况下不计算：

In [5]: import sympy

In [6]: sympy.sqrt(3)
Out[6]: sqrt(3)

此外，符号结果还可以被符号化地简化。

In [7]: sympy.sqrt(8)
Out[7]: 2*sqrt(2)

2 另一个例子

上面的例子展示如何使用SymPy精确地处理无理数，但它的功能远不止于此。像SymPy这样的符号计算系统（也经常被称为计算机代数系统，或者简称CASs）能够计算带有变量的符号表达式。

在SymPy中，变量是使用符号symbols定义的。与许多符号计算系统不同，SymPy中的变量必须在使用前定义。让我们定义一个符号表达式，表示数学表达式$x+2y$。

In [8]: from sympy import symbols

In [9]: x, y = symbols('x y')

In [10]: expr = x + 2*y

In [11]: expr
Out[11]: x + 2*y

注意，我们编写x+2*y就像编写x和y是普通Python变量一样。但是在本例中，表达式结果不是得到具体的值。

In [13]: expr+1
Out[13]: x + 2*y + 1

In [14]: expr-x
Out[14]: 2*y

注意上面例子中的一些东西。当我们输入expr-x时，我们没有得到x+2*y-x，而是只有2*y。x和-x自动地相互抵消。这类似于sqrt（8）自动转换为上面的2*sqrt（2）。
但SymPy并不总是这样，比如：

In [15]: x*expr
Out[15]: x*(x + 2*y)

在这里，我们可能希望分解形式$x（x+2y）$转换成扩展形式$x^2+2xy$。但SymPy有一个风格。除了像$x-x=0$和$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$这样明显的简化之外，大多数简化不会自动执行。这是因为我们可能需要分解形式，也可能需要扩展形式。分解形式和扩展形式适用于不同场景。因此，SymPy提供了分解形式和扩展形式的转换函数expand和factor

In [16]: from sympy import expand, factor

In [17]: expanded_expr = expand(x*expr)

In [18]: expanded_expr
Out[18]: x**2 + 2*x*y

In [19]: factor(expanded_expr)
Out[19]: x*(x + 2*y)

3 SymPy强大之处

SymPy的真正强大之处是做各种类型的符号计算。SymPy可以符号形式地简化表达式、计算导数、积分和极限、解方程、处理矩阵等等。它包括绘图、打印（如公式的2D打印输出，或$\text{LATEX}$形式打印），代码生成，物理学，统计学，组合学，数论，几何学，逻辑等。

下面举一些例子来感受一下SymPy的强大：

In [20]: from sympy import *

In [21]: x, t, z, nu = symbols('x t z nu')

In [22]: init_printing(use_unicode=True) # 指定结果用unicode字符打印出来。

求$\sin (x)e^x$的微分：

In [23]: diff(sin(x)*exp(x), x)
Out[23]: 
 x           x
ℯ ⋅sin(x) + ℯ ⋅cos(x)

计算积分：$\int \left(e^x\sin (x)+e^x\cos (x)\right)dx$

In [24]: integrate(exp(x)*sin(x) + exp(x)*cos(x), x)
Out[24]: 
 x
ℯ ⋅sin(x)

计算${\int }_{-\infty }^{\infty }\sin \left(x^2\right)dx$

In [25]: integrate(sin(x**2), (x, -oo, oo))
Out[25]: 
√2⋅√π
─────
  2

计算极限：${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin (x)}{x}$

In [26]: limit(sin(x)/x, x, 0)
Out[26]: 1

求解方程：$x^2-2=0$

In [27]: solve(x**2 - 2, x)
Out[27]: [-√2, √2]

求解微分方程：$y^{\prime \prime }-y=e^t$

In [30]:  y = Function('y')

In [31]:  dsolve(Eq(y(t).diff(t, t) - y(t), exp(t)), y(t))
Out[31]: 
           -t   ⎛     t⎞  t
y(t) = C₂⋅ℯ   +  ⎜C₁ + ─⎟⋅ℯ
                ⎝     2⎠

求矩阵$\left[\begin{array}{ll}1& 2\\ 2& 2\end{array}\right]$特征值：

In [32]: Matrix([[1, 2], [2, 2]]).eigenvals()
Out[32]: 
⎧3   √17       √17   3   ⎫
⎨─ + ───: 1, - ─── + ─: 1⎬
⎩2    2         2    2   ⎭

:1表示代数重数为1

将${\int }_0^{\pi }{\cos }^2(x)dx$字符表达式转换为$\text{LATEX}$代码

In [33]: latex(Integral(cos(x)**2, (x, 0, pi)))
Out[33]: '\\int_{0}^{\\pi} \\cos^{2}{\\left (x \\right )}\\, dx'

4 为什么使用SymPy

首先，SymPy是完全免费的。它是开源的，并且是在自由的BSD许可下授权的，所以你可以修改源代码，甚至可以出售它。这与流行的商业系统（如Maple或Mathematica）形成了对比，后者的许可证成本高达数百美元。

第二，SymPy使用Python。大多数计算机代数系统都是使用自己开发的语言。SymPy不是，它完全用Python编写，用Python执行。这意味着，如果你已经了解Python，那么开始使用SymPy就容易多了。我们已经知道Python是一种well-designed, battle-tested的语言。通过重用现有的语言，我们能够专注于那些重要的东西：数学。

另一个计算机代数系统Sage也使用Python作为其语言。但Sage很大，下载量超过1千兆字节。SymPy的一个优点是它下载量很小。而且，它除了Python之外没有其他依赖项，因此几乎可以在任何地方轻松使用。再者，Sage的目标和SymPy的目标是不同的。Sage的目标是成为一个功能齐全的数学系统，集成所有主要的开放源码数学系统。当您在Sage中调用某些函数（如integrate）时，它会调用它包含的一个开放源代码包。事实上，Sage中包含了SymPy。另一方面，SymPy的目标是成为一个独立的系统，所有的功能都在SymPy本身实现。

SymPy的最后一个重要特点是它可以用作库。许多计算机代数系统关注于在交互环境中的可用性，但是如果您希望自动化或扩展它们，这是很难做到的。使用SymPy，您可以在交互式Python环境中轻松地使用它，也可以将它导入到自己的Python应用程序中。SymPy还提供了api，可以方便地用自己的自定义函数扩展它。

未完待续。。。

【SymPy】（二）使用SymPy需要避开的坑

【SymPy】（三）基本操作

【SymPy】（四）打印机

【SymPy】（五）简化

【SymPy】（六）微积分

【SymPy】（七）方程求解

【SymPy】（八）矩阵

【SymPy】（九）高级表达式操作

今天的文章【SymPy】（一）SymPy简介[通俗易懂]分享到此就结束了，感谢您的阅读。