回溯法解决01背包问题_backtracking算法「建议收藏」

回溯法解决01背包问题_backtracking算法「建议收藏」【回溯法】--01背包问题1、问题描述  给定n种物品和一背包

【回溯法】--01背包问题

1、问题描述

  给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi>0,其价值为vi>0,背包的容量为c。问应如何选择装入背包中的物品,使得装入背包中物品的总价值最大? (要求使用回溯法)

 例如:

回溯法解决01背包问题_backtracking算法「建议收藏」

2、算法分析

【整体思路】

  01背包属于找最优解问题,用回溯法需要构造解的子集树。对于每一个物品i,对于该物品只有选与不选2个决策,总共有n个物品,可以顺序依次考虑每个物品,这样就形成了一棵解空间树: 基本思想就是遍历这棵树,以枚举所有情况,最后进行判断,如果重量不超过背包容量,且价值最大的话,该方案就是最后的答案。

      在搜索状态空间树时,只要左子节点是可一个可行结点,搜索就进入其左子树。对于右子树时,先计算上界函数,以判断是否将其减去(剪枝)。

  上界函数bound():当前价值cw+剩余容量可容纳的最大价值<=当前最优价值bestp。 

    为了更好地计算和运用上界函数剪枝,选择先将物品按照其单位重量价值从大到小排序,此后就按照顺序考虑各个物品。

【举例说明】

  对于n=4的0/1背包问题,其解空间树如图所示,树中的16个叶子结点分别代表该问题的16个可能解。 

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【算法设计】

    利用回溯法试设计一个算法求出0-1背包问题的解,也就是求出一个解向量xi (即对n个物品放或不放的一种的方案)

 其中, (xi = 0 或1,xi = 0表示物体i不放入背包,xi =1表示把物体i放入背包)。

在递归函数Backtrack中,
    当i>n时,算法搜索至叶子结点,得到一个新的物品装包方案。此时算法适时更新当前的最优价值
    当i<n时,当前扩展结点位于排列树的第(i-1)层,此时算法选择下一个要安排的物品,以深度优先方式递归的对相应的子树进行搜索,对不满足上界约束的结点,则剪去相应的子树。

【时间复杂度&&优化】  

  因为物品只有选与不选2个决策,而总共有n个物品,所以时间复杂度为回溯法解决01背包问题_backtracking算法「建议收藏」

  因为递归栈最多达到n层,而且存储所有物品的信息也只需要常数个一维数组,所以最终的空间复杂度为O(n)。

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【源代码】        

#include <iostream>
#include <stdio.h>
//#include <conio.h>
using namespace std;
int n;//物品数量
double c;//背包容量
double v[100];//各个物品的价值 value
double w[100];//各个物品的重量 weight
double cw = 0.0;//当前背包重量 current weight
double cp = 0.0;//当前背包中物品总价值 current value
double bestp = 0.0;//当前最优价值best price
double perp[100];//单位物品价值(排序后) per price
int order[100];//物品编号
int put[100];//设置是否装入,为1的时候表示选择该组数据装入,为0的表示不选择该组数据


//按单位价值排序
void knapsack()
{
    int i,j;
    int temporder = 0;
    double temp = 0.0;

    for(i=1;i<=n;i++)
        perp[i]=v[i]/w[i]; //计算单位价值(单位重量的物品价值)
    for(i=1;i<=n-1;i++)
    {
        for(j=i+1;j<=n;j++)
            if(perp[i]<perp[j])//冒泡排序perp[],order[],sortv[],sortw[]
        {
            temp = perp[i];  //冒泡对perp[]排序
            perp[i]=perp[j];
            perp[j]=temp;

            temporder=order[i];//冒泡对order[]排序
            order[i]=order[j];
            order[j]=temporder;

            temp = v[i];//冒泡对v[]排序
            v[i]=v[j];
            v[j]=temp;

            temp=w[i];//冒泡对w[]排序
            w[i]=w[j];
            w[j]=temp;
        }
    }
}

//回溯函数
void backtrack(int i)
{   //i用来指示到达的层数(第几步,从0开始),同时也指示当前选择玩了几个物品
    double bound(int i);
    if(i>n) //递归结束的判定条件
    {
        bestp = cp;
        return;
    }
    //如若左子节点可行,则直接搜索左子树;
    //对于右子树,先计算上界函数,以判断是否将其减去
    if(cw+w[i]<=c)//将物品i放入背包,搜索左子树
    {
        cw+=w[i];//同步更新当前背包的重量
        cp+=v[i];//同步更新当前背包的总价值
        put[i]=1;
        backtrack(i+1);//深度搜索进入下一层
        cw-=w[i];//回溯复原
        cp-=v[i];//回溯复原
    }
    if(bound(i+1)>bestp)//如若符合条件则搜索右子树
        backtrack(i+1);
}

//计算上界函数,功能为剪枝
double bound(int i)
{   //判断当前背包的总价值cp+剩余容量可容纳的最大价值<=当前最优价值
    double leftw= c-cw;//剩余背包容量
    double b = cp;//记录当前背包的总价值cp,最后求上界
    //以物品单位重量价值递减次序装入物品
    while(i<=n && w[i]<=leftw)
    {
        leftw-=w[i];
        b+=v[i];
        i++;
    }
    //装满背包
    if(i<=n)
        b+=v[i]/w[i]*leftw;
    return b;//返回计算出的上界

}



int main()
{
    int i;
    printf("请输入物品的数量和背包的容量:");
    scanf("%d %lf",&n,&c);
    /*printf("请输入物品的重量和价值:\n");
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        printf("第%d个物品的重量:",i);
        scanf("%lf",&w[i]);
        printf("第%d个物品的价值是:",i);
        scanf("%lf",&v[i]);
        order[i]=i;
    }*/
    printf("请依次输入%d个物品的重量:\n",n);
    for(i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf",&w[i]);
        order[i]=i;
    }

    printf("请依次输入%d个物品的价值:\n",n);
    for(i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf",&v[i]);
    }


    knapsack();
    backtrack(1);


    printf("最优价值为:%lf\n",bestp);
    printf("需要装入的物品编号是:");
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(put[i]==1)
            printf("%d ",order[i]);
    }
    return 0;
}

 

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