BFS（宽度优先算法）

1.BFS简介

     宽度优先搜索算法（又称广度优先搜索）是最简便的图的搜索算法之一，这一算法也是很多重要的图的算法的原型。其别名又叫BFS，属于一种盲目搜寻法，目的是系统地展开并检查图中的所有节点，以找寻结果。换句话说，它并不考虑结果的可能位置，彻底地搜索整张图，直到找到结果为止。简单来说，bfs好像是一个耳听六路眼观八方的人，搜索时是一层一层的搜索的。BFS利用的数据结构是queue，空间复杂度为o(2^n)，另外BFS可以用来解决最短路问题。BFS是一个从近到远的扩散过程。

2.基本思想

   从初始状态S开始，利用规则，生成所有可能的状态。构成树的下一层节点，检查是否出现目标状态G，若未出现，就对该层所有状态节点，分别顺序利用规则。生成再下一层的所有状态节点，对这一层的所有状态节点检查是否出现G，若未出现，继续按上面思想生成再下一层的所有状态节点，这样一层一层往下展开。直到出现目标状态为止。

3.算法步骤

（1）把起始节点S线放到queue 表中克祥
  (2)如果queue是空表，则失败退出，否则继续。
  (3)在queue表中取最前面的节点node 移到 CL OSED 表中。（出队）
  (4)扩展node节点。若没有后继即叶节点），则转向（2）循环。
  (5)把node的所有后继节点放在queue表的末端。各后继结点指针指向node节点。(入队)
  (6)若后继节点中某一个是目标节点，则找到一个解，成功退出。否则转向(2)循环。

4.例题

   BFS和DFS一样搜索框架比较多，所以我们也是来看两个经典例题

 4.1AcWing 844 走迷宫

给定一个 n×m 的二维整数数组，用来表示一个迷宫，数组中只包含 0 或 1，其中 0 表示可以走的路，1 表示不可通过的墙壁。最初，有一个人位于左上角 (1,1) 处，已知该人每次可以向上、下、左、右任意一个方向移动一个位置。请问，该人从左上角移动至右下角 (n,m) 处，至少需要移动多少次。数据保证 (1,1) 处和 (n,m) 处的数字为 0，且一定至少存在一条通路。

输入格式

第一行包含两个整数 n和 m。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数（0 或 1），表示完整的二维数组迷宫。

输出格式

输出一个整数，表示从左上角移动至右下角的最少移动次数。

数据范围

1≤n,m≤100

输入样例：

5 5
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 0 0 0 0
0 1 1 1 0
0 0 0 1 0

输出样例：

8

解题思路：这里需要注意只有所以边权重一样时，才能用BFS来求最短路。这个题是用BFS来求的，因为BFS是每次一层一层的搜索，因此第一次搜到的点就是最短路。BFS搜索如下图，一次一次的每次搜索都是看一下离自己最近的位置是否可以走。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int>PLL;
const int N=110;
 int n,m;
int g[N][N];//存放起始图
int d[N][N];//每一个点到起点的距离
PLL q[N*N];//模拟队列
int bfs()
{

    int hh=0,tt=0;//定义队头和队尾
    q[0]={0,0};//定义起始位置
    memset(d,-1,sizeof d);//初始化每一个点为-1，表示没有走过
    d[0][0]=0;//表示0，0点已经走过
    int dx[4]={-1,0,1,0},dy[4]={0,1,0,-1};//用向量-1，0，1，0来表示每次走的方向
    while(hh<=tt)//队列不空
    {

        auto t =q[hh++];//取出队头元素
        for(int i=0;i<4;i++)//遍历四个方向
        {

            int x=t.first+dx[i],y=t.second+dy[i];//移动后的点
            if(x>=0 &&x<n && y>=0 && y<m && g[x][y]==0 && d[x][y]==-1)//移动后的点是合理的
            {

                d[x][y]=d[t.first][t.second]+1;//更新这个点
                q[++tt]={x,y};//将这个点加进队列
            }
        }
    }
    return d[n-1][m-1]; //返回右下角的距离
}
int main()
{

   
   cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++)//读入整个地图
       for(int j=0;j<m;j++)
          cin>>g[i][j];
          
    cout<<bfs()<<endl;
    return 0;
}

例题2 AcWing   845 八数码

在一个 3×3 的网格中，1∼8 这 8 个数字和一个 x 恰好不重不漏地分布在这 3×3 的网格中。

例如：

1 2 3
x 4 6
7 5 8

在游戏过程中，可以把 x 与其上、下、左、右四个方向之一的数字交换（如果存在）。

我们的目的是通过交换，使得网格变为如下排列（称为正确排列）：

1 2 3
4 5 6
7 8 x

例如，示例中图形就可以通过让 x 先后与右、下、右三个方向的数字交换成功得到正确排列。

交换过程如下：

1 2 3   1 2 3   1 2 3   1 2 3
x 4 6   4 x 6   4 5 6   4 5 6
7 5 8   7 5 8   7 x 8   7 8 x

现在，给你一个初始网格，请你求出得到正确排列至少需要进行多少次交换。

输入格式

输入占一行，将 3×3 的初始网格描绘出来。

例如，如果初始网格如下所示：

1 2 3 
x 4 6 
7 5 8 

则输入为：1 2 3 x 4 6 7 5 8

输出格式

输出占一行，包含一个整数，表示最少交换次数。

如果不存在解决方案，则输出 −1−1。

输入样例：

2  3  4  1  5  x  7  6  8

输出样例

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解题思路：以下图为例，我们可以把每一种移动方式看作是一个节点，目标情况看作是终点。

问题：

1.怎么将一种情况看作是一个节点

2.如何记录每一个状态的距离（即需移动的距离）

3.队列怎么定义，dist数组怎么定义

解决方案：将3*3矩阵转化成字符串

队列可以用 queue<string>
//直接存转化后的字符串
dist数组用 unordered_map<string, int>
//将字符串和数字联系在一起，字符串表示状态，数字表示距离 

 矩阵与字符串的转化

代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <unordered_map>

using namespace std;

int bfs(string start)
{

    //定义目标状态
    string end = “12345678x”;
    //定义队列和dist数组
    queue<string> q;
    unordered_map<string, int> d;
    //初始化队列和dist数组
    q.push(start);
    d[start] = 0;
    //用向量表示移动方向
    int dx[4] = {1, -1, 0, 0}, dy[4] = {0, 0, 1, -1};

    while(q.size())
    {

        auto t = q.front();
        q.pop();
        //记录当前状态的距离，如果是最终状态则返回距离
        int distance = d[t];
        if(t == end) return distance;
        //查询x在字符串中的下标，然后转换为在矩阵中的坐标
        int k = t.find(‘x’);
        int x = k / 3, y = k % 3;

        for(int i = 0; i < 4; i++)
        {

            //求转移后x的坐标
            int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
            //当前坐标没有越界
            if(a >= 0 && a < 3 && b >= 0 && b < 3)
            {

                //转移x
                swap(t[k], t[a * 3 + b]);
                //如果当前状态是第一次遍历，记录距离，入队
                if(!d.count(t))
                {

                    d[t] = distance + 1;
                    q.push(t);
                }
                //还原状态，为下一种转换情况做准备
                swap(t[k], t[a * 3 + b]);
            }
        }
    }
    //无法转换到目标状态，返回-1
    return -1;
}

int main()
{

    string c, start;
    //输入起始状态
    for(int i = 0; i < 9; i++)
    {

        cin >> c;
        start += c;
    }

    cout << bfs(start) << endl;

    return 0;
}

今天的文章BFS（宽度优先算法）分享到此就结束了，感谢您的阅读。