韦伯分布（威布尔分布，Weibull distribution)

韦伯分布（Weibull distribution) 一般用来统计可靠性或寿命检验时用，例如：预计在有效寿命阶段有多少次保修索赔？预计将在 8 小时老化期间失效的保险丝占多大百分比？

在管理科学与工程领域，见到一些学者假定产品的需求为韦伯分布。因为正态分布或者泊松分布过于理想化，韦伯分布相对来说更接近现实一些(从概率密度函数来看，韦伯分布一般具有长尾分布，即右偏分布的特点)。

韦伯分布的概率密度函数为：

$$f(x,\lambda ,k)=\{\begin{array}{ll}\frac{k}{\lambda }(\frac{x}{\lambda }{)}^{k-1}{e}^{-(x/\lambda {)}^k}& x\ge 0\\ 0& x<0\end{array}$$

其中， $x$ 是随机变量，$\lambda$ 是比例参数（scale），$k$ 是形状参数（shape），当 $k=1$ 时，韦伯分布是指数分布。而如果 $\lambda =1$ 时，则称为最小化的韦伯分布（weibull_min，python 中的 scipy 所带，此时 $-x$ 对应的分布为最大化的韦伯分布，weibull_max，普通韦伯分布在 scipy 中的名称为 exponweib ）

均值：
$$\lambda \Gamma (1+\frac{1}{k})$$

方差：
$${\lambda }^2\left[\Gamma (1+\frac{2}{k})-{\left(\Gamma (1+\frac{1}{k})\right)}^2\right]$$

其中， $\Gamma$ 为伽马函数（伽马函数并不是完全单调上升的，分界点为 1.4616，小于 1.4616 时单调下降），
$$\Gamma (z)={\int }_0^{\infty }\frac{t^{z-1}}{e^t}dt$$

用 python 画韦伯分布概率密度曲线：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


# define the pdf of weibull distribution
def weib(x, scale, shape):
    return (shape / scale) * (x / scale)**(shape - 1) * np.exp(-(x / scale) ** shape)


scale = 50
shape = 1.5
x = np.arange(1, scale*2)
y = np.zeros(len(x))  # [0 for i in range(len(x))]
for i in range(len(x)):
    y[i] = weib(x[i], scale, shape)

scale = 50
shape = 2.5
y1 = np.zeros(len(x))  # [0 for i in range(len(x))]
for i in range(len(x)):
    y1[i] = weib(x[i], scale, shape)
scale = 50
shape = 4
y2 = np.zeros(len(x))  # [0 for i in range(len(x))]
for i in range(len(x)):
    y2[i] = weib(x[i], scale, shape)


scale = 30
shape = 2.5
y3 = np.zeros(len(x))  # [0 for i in range(len(x))]
for i in range(len(x)):
    y3[i] = weib(x[i], scale, shape)
scale = 70
shape = 2.5
y4 = np.zeros(len(x))  # [0 for i in range(len(x))]
for i in range(len(x)):
    y4[i] = weib(x[i], scale, shape)


plt.subplot(2, 1, 1)
plt.plot(x, y, 'r', label='scale=50, shape=1.5')
plt.plot(x, y1, 'b', label='scale=50, shape=2.5')
plt.plot(x, y2, 'g', label='scale=50, shape=4')
plt.legend()
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(x, y3, 'r', label='scale=30, shape=2.5')
plt.plot(x, y1, 'b', label='scale=50, shape=2.5')
plt.plot(x, y4, 'g', label='scale=70, shape=2.5')
plt.legend()
plt.show()

从图形可以看出，不论增加比例参数（均值也会随着增加），还是增加形状参数（均值一般也会随着增加），分布都更加类似正态分布。

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