有限覆盖定理证明其他实数完备性定理是什么_哥德尔不完备定理证明过程

1、有限覆盖定理证明确界原理

证明:

设$S$为非空有上界的数集，我们证明$S$有上确界

不妨设$S$没有最大值,设$b$为$S$的一个上界,下面用反证法来证明$supS=\xi$存在

假设$supS$不存在，取$a\in S$对任一$x\in [a,b]$，依下述方法确定一个相应的邻域

$$U_x=(x-\delta ,x+\delta )$$

$1)$若$x\in S$，因$S$中没有最大值，所以至少存在一点$x^{\prime }\in S$，使$x^{\prime }<x$，这时取$\delta =x^{\prime }-x$

$2)$若$x\notin S$且$x$不是$S$的上界,同样存在$x^{\prime }\in S$,使$x<x^{\prime }$,这时取$\delta =x-x^{\prime }$

$3)$若$x\in S$,且$x$是$S$的上界,因$supS$存在，故有$\delta >0$,使得$U_x=(x-\delta ,x+\delta )$中的点都是$S$的上界.

于是我们得到了$[a,b]$的一个开覆盖:

H = { U x = ( x − δ , x + δ ) ∣ x ∈ [ a , b ] } {H}=\left\{
{U}_{
{x}}=({x}-\delta,{x}+\delta)\mid{x}\in[{a},{b}]\right\} H={
Ux​=(x−δ,x+δ)∣x∈[a,b]}

根据有限覆盖定理，$H$有有限子覆盖:

H ~ = { U n k = ( x k − δ x k , x k + δ x k ) ∣ k = 1 , 2 , ⋯   , n } \widetilde{
{H}}=\left\{
{U}_{nk}=\left({x}_{k}-\delta_{x_k},{x}_{k}+\delta_{x_k}\right)\mid{k}=1,2,\cdots,n\right\} H
={
Unk​=(xk​−δxk​​,xk​+δxk​​)∣k=1,2,⋯,n}

将$U_x$分成两类,若$U_x$是$3)$中所确定的开区间，我们把$U_x$称为是第二类的，否则称为是第一类的,显然$a$所属的邻域$U_{xi}$是第一类的，$b$所属的邻域$U_{xi}$是第二类的,所以至少有一个第一类邻域与某个第二类邻域相交，这是不可能的.

2、有限覆盖定理证明单调有界定理

单调有界定理即单调有界数列必有极限

证:

不妨设数列 { x n } \{x_n\} {
xn​}单调递增有上界$M$，且若 { x n } \{x_n\} {
xn​}中有最大值，则易知 { x n } \{x_n\} {
xn​}收敛于某常数，从而定理得证，一下假设 { x n } \{x_n\} {
xn​}中没有最大值，我们用反证法来证明

$(1)$设 { x n } \{x_n\} {
xn​}没有极限。对任意取定自然数$n_0$有$x_{n_0}<M$,下面作闭区间$\left[x_{n_0},M\right]$的对应开覆盖$H$.设$x\in \left[x_{n_0},M\right]$

$1)$若$x=x_n^{\prime }$($n^{\prime }$是自然数)。因为 { x n } \{x_n\} {
xn​}中没有最大值，说以至少存在某个自然数$n^{\prime \prime }$,使得 x n ′ ≤ x n ′ ′ x_{n^{\prime}}\leq x_{n^{\prime\prime}} xn′​≤<

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