目录
一. 二叉树概述
二叉树(Binary Tree)一种重要的树形结构,其每个节点最多只能有两棵子树,通常称为左子树和右子树,且子树有左右之分,其次序不能颠倒。二叉树是n个有限元素的集合,该集合或者为空(称为空二叉树),或者由一个称为根(root)的元素及两个不相交的、被分别称为左子树和右子树的二叉树组成。
1. 基本性质
(1)在二叉树的第 i 层上最多有 个节点 (i>=1)
(2)二叉树中如果深度为k(有k层),那么最多有个节点(k>=1)
(3)若二叉树按照从上到下从左到右依次编号,则若某节点编号为k,则其左右子树根节点编号分别为2k和2k+1;
(4)二叉树可以分为一些特殊类型,比如满二叉树、完全二叉树。其中,满二叉树是指高度为h且由个节点构成,并且所有叶子结点都在同一层上的二叉树;完全二叉树则是对一颗具有n个结点的二叉树按层序编号,如果编号为i(1 ≤ i ≤ n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i 的结点在二叉树中位置完全相同,则这棵二叉树称为完全二叉树。
(5)在完全二叉树中,具有n个节点的完全二叉树的深度为,其中是对结果x向下取整。而满二叉树的深度则为
2. 例题分析
(1)问题描述
UVA679 小球下落
Problem Description
有一颗满二叉树,每个节点是一个开关,初始全是关闭的,小球从顶点落下,小球每次经过开关就会把它的状态置反,这个开关为关时,小球左跑,为开时右跑。现在问第k个球下落到d层时的开关编号。Input
输入深度d和小球个数k。d<20,k<524288
Output
对于每组测试数据,输出计算结果。
(2)题解代码
在分析时,该题最先想到的应该是模拟,即开一个数组表示开关,下标表示编号,根据k的子树为2k和2k+1来改变数组状态,并判断输出结果。但是该思路不但要开2^20这么大的数组而且循环判断会超时。因此需要改变思路,寻找题目的规律:
- 对于每一层,第奇数个落入该层的球都是往左走的,第偶数个落入该层的球都是往右走的。
- 小球都是按照编号依次下落的,对于左枝(也就是奇数球),每个I号小球落入该层都是第(I+1)/2个小球,而偶数是往右走的I/2个小球。
- 每一层循环递归(共d层),来判断I的状态,即可找出最后叶子。
#include <iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int main()
{
int n;
while(cin>>n)
{
if(n==-1)break;
int D,I;
while(n--)
{
cin>>D>>I;//D层I个小球
int k=1;
for(int i=0; i<D-1; i++)
{
if(I%2)//奇数是往左走的第(i+1)/2个小球
{
k=k*2;//往左走是k*2
I=(I+1)/2;//改变小球
}
else
{
k=(k*2+1);//偶数是往右走的第(i/2)个小球
I=I/2;
}
}
cout<<k<<endl;
}
}
return 0;
}
二. 二叉树的实现方式
1. 第一类数组实现
第一类数组实现使用数组root[]存储结点值,在这种实现当中,对于编号为k的节点,其左子节点的编号为2*k,右子节点的编号为2*k + 1,另外确定根节点的编号为1。毫无疑问,这种实现极易产生巨大的空间浪费,比如对于一个只有一条链的树,假设该树含有31个节点,存储这31个节点却需要开一个2^30大小的数组,因此此方法虽易于理解但较少使用。
2. 结构体指针实现
该方法用结构体指针u来表示一个节点,其中u->v表示该节点的权值,u->left和u->right分别指向该节点的左右子节点,初始化全部为NULL,若需用到该节点,则申请空间,否则视为无子节点,就这样互相联系成一颗结构体指针二叉树。这种方式下非常节省空间,但是容易出现指针悬挂或者未知的指针内存错误。
3. 第二类数组实现
对于一棵有n个节点树,只需要开一个大小为n的数组,节点按照出现顺序依次编号。这么一来,虽然节省空间,但每个节点的左右节点的编号就无法通过2*k、2*k+1的形式来直接确定关系了,这时就需要开辟数组lch[maxn] , rch[maxn]。
其中lch[u]表示u节点的左子节点的编号,因此通过u = lch[u]就可以访问到u节点的左子节点,rch[u]的含义同理。另外,用value[u]表示编号为u节点的权值。如此一来,申请新节点的newnode函数与初始化的newtree函数写法就变得不同了,具体见代码。(此处只需结点个数个数组即可,并不计算数值!)
4. 例题分析
(1)问题描述
UVA122 树的层次遍历
Problem Description
给你一颗二叉树,按照从上到下从左到右的顺序输出每个节点的权值,若某个节点没有赋值或者输入超过一次,则输出no complete
Example Input
(11,LL) (7,LLL) (8,R)
(5,) (4,L) (13,RL) (2,LLR) (1,RRR) (4,RR) ()
(3,L) (4,R) ()Example Output
5 4 8 11 13 4 7 2 1
not complete
(2)题解代码
方法一:结构体指针实现法
#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=266;
char s[maxn];//输入
bool failed;
struct Node//节点
{
bool have_value;//该点是否被赋值过
int v;//该点权值
Node*left,*right;//左右子节点
Node():have_value(false),left(NULL),right(NULL){}//初始化函数
};
Node*root;//树根!!
Node* newnode()//分配内存
{
return new Node();//分配同时初始化
}
void addnode(int v,char *a)//建树
{
int len=strlen(a);
Node *u=root;
for(int i=0;i<len;i++)
{
if(a[i]=='L')//左
{
if(u->left==NULL)u->left=newnode();//若左节点没有分配内存,没有开辟过,则申请内存,因为经过该节点了,该节点必须赋值!
u=u->left;//更新路径
}
else if(a[i]=='R')//右
{
if(u->right==NULL)u->right=newnode();//同上
u=u->right;
}
}
if(u->have_value)failed=true;//如果该节点已经被赋值过了,则非法输入,报错
u->v=v;//更新该节点
u->have_value=true;//标记赋值
}
bool read_in()//输入
{
root=newnode();//给树根申请内存
failed=false;//标记
for(;;)
{
if(scanf("%s",s)!=1)return false;//输入c+z了结束
if(strcmp(s,"()")==0)break;//读到()表示该组数据正常结束
int v;
sscanf(&s[1],"%d",&v);//sscanf读取权值并赋给v
addnode(v,strchr(s,',')+1);//读取路径,并且建树,最好不要在此处判断failed因为还没有完整输入数据
}
return true;
}
bool bfs(vector<int>&ans)//遍历树,并保存权值
{
queue<Node*>q;//队列
ans.clear();
q.push(root);
while(!q.empty())
{
Node*u=q.front();
q.pop();
if(!u->have_value)return false;//若该节点没有赋值,说明出现了越节点赋值现象,报错
ans.push_back(u->v);//存入节点权值,按照从上到下从左到右
if(u->left!=NULL)q.push(u->left);//左
if(u->right!=NULL)q.push(u->right);//右--->循环递归!!借助queue
}
return true;
}
int main()
{
while(1)
{
if(!read_in())//输入数据并且建树完成
break;
vector<int> ans;//ans用来存储权值,最后输出
if(!failed&&bfs(ans))//均无错误,则可输出
{
int l=ans.size();
for(int j=0;j<l;j++)//输出
{
if(j==0)
cout<<ans[j];
else
cout<<" "<<ans[j];
}
cout<<endl;
}
else
cout<<"not complete"<<endl;
}
return 0;
}
方法二:第二类数组实现法
void newtree() //初始化一颗新树,由于静态实现无法回收内存,因此顺便充当析构函数
{
lch[root] = rch[root] = 0;
have_value[root] = 0;
cnt = root;
}
int newnode() //建立新节点的函数,其中0相当于结构体中的空指针
{
int u = ++cnt;
lch[u] = rch[u] = 0;
have_value[u] = 0;
return u;
}
void addnode(int v , char * s) //建立新节点的过程
{
int n = strlen(s);
int u = root;
for(int i = 0; i<n;i++){
if(s[i] == 'L' ) { //重点!
if(lch[u] == 0)
lch[u] = newnode();
u = lch[u];
}
else if(s[i] == 'R'){
if(rch[u] == 0)
rch[u] = newnode();
u = rch[u];
}
}
if(have_value[u])failed = true;
value[u] = v;
have_value[ u ] = 1;
}
三. 二叉树的遍历方式
1. 先序遍历
先序遍历按照根节点->左子树->右子树的顺序访问二叉树(注:每个节点的分支都遵循上述的访问顺序,体现“递归调用”),具体遍历步骤为:
(1)访问根节点;
(2)采用先序递归遍历左子树;
(3)采用先序递归遍历右子树;
以上述图片为例,其先序遍历结果为:A BDFE CGHI,具体思维过程如下:
(1)先访问根节点A,
(2)A分为左右两个子树,因为是递归调用,所以左子树也遵循“先根节点-再左-再右”的顺序,所以访问B节点,
(3)然后访问D节点,
(4)访问F节点的时候有分支,同样遵循“先根节点-再左–再右”的顺序,
(5)访问E节点,此时左边的大的子树已经访问完毕,
(6)然后遵循最后访问右子树的顺序,访问右边大的子树,右边大子树同样先访问根节点C,
(7)访问左子树G,
(8)因为G的左子树没有,所以接下俩访问G的右子树H,
(9)最后访问C的右子树I
2. 中序遍历
中序遍历按照左子树->根节点->右子树的顺序访问二叉树(注:每个节点的分支都遵循上述的访问顺序,体现“递归调用”),具体遍历步骤为:
(1)采用中序遍历左子树;
(2)访问根节点;
(3)采用中序遍历右子树
以上述图片为例,其中序遍历结果为:DBEF A GHCI
3. 后序遍历
后序遍历按照左子树->右子树->根节点的顺序访问二叉树(注:每个节点的分支都遵循上述的访问顺序,体现“递归调用”),具体遍历步骤为:
(1)采用后序递归遍历左子树;
(2)采用后序递归遍历右子树;
(3)访问根节点;
以上述图片为例,其后序遍历的结果为:DEFB HGIC A
注意:三种方法遍历过程中经过节点的路线一样;只是访问各个节点的时机不同,递归算法主要使用堆栈来实现。
4. 例题分析
4.1 UVA548 树
(1)问题描述
Problem Description
输入一个二叉树的中序和后序,输出一个叶子节点,使得该叶子节点到根的数值总和最小。
Sample Input
3 2 1 4 5 7 6
3 1 2 5 6 7 4
7 8 11 3 5 16 12 18
8 3 11 7 16 18 12 5
255
255Sample Output
1
3
255
(2)题解代码
首先需要先明确一个知识点,就是如果知道了一棵树的中序和后序遍历,如何求它的前序遍历?思考如下:
- 第一步:初始时后序遍历的最后一个数字就是我们的一个子树的根节点
- 第二步:找到根结点后,跟据中序遍历的性质,该序列树就会被自然地分成了左右两个部分
- 第三步:统计出来左右两个子树的大小和长度,这样就能继续重复上面的步骤
不断通过中序和后序来建树,然后递归找到所有节点到根节点的路径和,不断更新,最后输出即可。其代码如下:
#include <iostream>
#include<string>
#include<sstream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=10000+10;
int lch[maxn],rch[maxn],in_order[maxn],post_roder[maxn];
int n;
int read_list(int* a)
{
// memset(lch,0,sizeof(lch));
// memset(rch,0,sizeof(rch));
// memset(in_order,0,sizeof(in_order));
// memset(post_roder,0,sizeof(post_roder));
string line;
if(!getline(cin,line))return false;//因为题目说一行数据,没有结束标志,所以以回车为结束用字符串读入!
stringstream ss(line);
n=0;
int x;
while(ss>>x)a[n++]=x;//存入数组
return n>0;
}
int build(int L1,int R1,int L2,int R2)//建树各树的: 中序-后序
{
if(L1>R1)return 0;//空树
int root=post_roder[R2];//树根是后序的最后一个字符
int p=L1;
while(in_order[p]!=root)p++;//在中序里找到左子树结点个数
int cnt=p-L1;//左子树个数
lch[root]=build(L1,p-1,L2,L2+cnt-1);//以root为根的左子树建树l1-p-1是中序的左边也就是左子树的中序,l2-l2+cnt-1是左子树的后序,看上面图片就可以知道,下面同,这样不断递归找到各个节点!
rch[root]=build(p+1,R1,L2+cnt,R2-1);//右子树建树
return root;
}
int best,best_sum;//最优解
void dfs(int u,int sum)//找最优解
{
sum+=u;
if(!lch[u]&&!rch[u])//没有左右子树了说明已经到达最低端叶子,该路径完成,判断是否最优解
{
if(sum<best_sum||(sum==best_sum&&u<best))
{
best_sum=sum;
best=u;
}
}
if(lch[u])dfs(lch[u],sum);//否则还在树枝上,继续向下找叶子
if(rch[u])dfs(rch[u],sum);
}
int main()
{
while(read_list(in_order))//把中序读入数组in_order
{
read_list(post_roder);//读入后序post_order
build(0,n-1,0,n-1);//建树
best_sum=1000000000;//最优解
dfs(post_roder[n-1],0);//递归寻找最优解
cout<<best<<endl;
}
return 0;
}
4.2 UVA839 天平
(1)问题描述
Problem Description
根据干杠平衡原理,判断题目所给出的数据组成的天平能否平衡。注意,此天平可能包含子天平。输入时,如果w为0,则表示包含子天平,子天平按照先左后右的方法输入,子天平只需要判断w1*d1==w2*d2是否正确即可。那么父天平又如何判断呢? 公式一样,不同的是,父天平的两边的重量是子天平砝码总和。Sample Input
1
0 2 0 4
0 3 0 1
1 1 1 1
2 4 4 2
1 6 3 2Sample Output
YES
(2)题解代码
该题的要点在于怎么输入。题目的输入是按照构建天平进行的,什么时候天平构建完什么时候一组输入结束,所以这就要求一边输入一边建树,可以考虑递归输入!
#include <iostream>
using namespace std;
bool solve(int &w)
{
int w1,d1,w2,d2;
cin>>w1>>d1>>w2>>d2;
bool b1=true,b2=true;
if(!w1)b1=solve(w1);//如果w1=0,则说明w1有子树,同时把w1带入递归求出w1也就是子树总重量
if(!w2)b2=solve(w2);//同上
//求总重量,其实如果只考虑最上层的天平,这步似乎没什么意义;
//但其实它的意义在于,在当前是递归到一个子天平的情况时,就要重新输入子天平所在处的左右天平,如果有了这句代码,参数 W1 或者 W2,最终就能变为子天平上的两个左右天平的总重量。如此,等到判断 D1 * W1 == D2 * W2时,W1 和 W2就都不会是0了,而是该子天平下所有子天平的总重量(如果有的话,没有子天平,就还是它本身的质量,总之不会是0,而是它自己或是自己所有子天平的重量
w=w1+w2;
return b1&&b2&&(w1*d1==w2*d2);//要想平衡,每一个天平都要平衡!
}
int main()
{
int T,W;
cin>>T;//组数
while(T--)
{
if(solve(W))//输入同时判断
cout<<"YES"<<endl;
else
cout<<"NO"<<endl;
if(T)
cout<<endl;
}
return 0;
}
四. 二叉树的建树方式
1. 按位置建树
如果题目给出了每一个节点的位置描述,则每个节点递归赋值即可,类似于例题二。其核心代码如下:
void addnode(int v,char *a)//建树
{
int len=strlen(a);
Node *u=root;
for(int i=0;i<len;i++)
{
if(a[i]=='L')//左
{
if(u->left==NULL)u->left=newnode();//若左节点没有分配内存,没有开辟过,则申请内存,因为经过该节点了,该节点必须赋值!
u=u->left;//更新路径
}
else if(a[i]=='R')//右
{
if(u->right==NULL)u->right=newnode();//同上
u=u->right;
}
}
}
2. 按遍历建树
如果题目给出的是整棵树的路径顺序,如整棵树的先序,后序等等,这时候就需要整棵树按照给予的字符串递归建树,类似uva297四分树的指针结构体建树思路。其核心代码如下:
Node* createNode(char* s) { //递归建树
if (s[n]=='\0') return NULL;
Node* pNode=new Node;
if (s[n]=='p') {
pNode->type=0;
n++;
pNode->fch=createNode(s);
pNode->sch=createNode(s);
pNode->tch=createNode(s);
pNode->lch=createNode(s);
}
else if (s[n]=='f') {
pNode->type=1;
n++;
}
else {
pNode->type=2;
n++;
}
return pNode;
}
注意:通过全局变量或者引用的使用来改变n的值最为关键!
3. 例题分析
(1)例题一
Problem Description
已知二叉树的一个按先序遍历输入的字符序列,如abc,,de,g,,f,,, (其中,表示空结点)。请建立二叉树并按中序和后序的方式遍历该二叉树。
若题目给出空节点,则只需一个先序字符串就可以建树,然后递归求得中序后序;若求层次遍历,则需要用队列!若不给出空节点,则必须用两个遍历序列的字符串才能建树!
#include <iostream>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
struct Node
{
char ch;
Node *lefted,*righted;
Node():ch(0),lefted(NULL),righted(NULL) {}
};
Node *newnode()
{
return new Node();
};
Node *Root;
Node *build(const char *s,int& p)
{
char sign=s[p++];
if(sign==',')
return NULL;
else
{
Node *root;
root=newnode();
root->ch=sign;
root->lefted=build(s,p);
root->righted=build(s,p);
return root;
}
}
void solveZ(Node *tree)
{
if(tree)
{
solveZ(tree->lefted);
cout<<tree->ch;
solveZ(tree->righted);
}
}
void solveH(Node *tree)
{
if(tree)
{
solveH(tree->lefted);
solveH(tree->righted);
cout<<tree->ch;
}
}
int main()
{
char name[100];
while(scanf("%s",name)!=EOF)
{
int m=0;
Root=build(name,m);
solveZ(Root);
cout<<endl;
solveH(Root);
cout<<endl;
}
return 0;
}
(2)例题二
Problem Description
输入二叉树的先序遍历序列和中序遍历序列,输出该二叉树的后序遍历序列。Input
第一行输入二叉树的先序遍历序列;
第二行输入二叉树的中序遍历序列。
Output
输出该二叉树的后序遍历序列。
Sample Input
ABDCEF
BDAECF
Sample Output
DBEFCA
#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
char pre_name[100];
char in_name[100];
struct Node
{
char ch;
Node *lefted,*righted;
Node():ch(0),lefted(NULL),righted(NULL) {}
};
Node *Root;
Node *build(int L1,int R1,int L2,int R2)//前序找根,中序分割建树
{
if(L2>R2)return NULL;
Node *root;
root=new Node();
root->ch=pre_name[L1];
int p=L2;
while(in_name[p]!=root->ch)p++;
int cnt=p-L2;
root->lefted=build(L1+1,L1+cnt,L2,p-1);
root->righted=build(L1+cnt+1,R1,p+1,R2);
return root;
}
void select_post(Node *tree)
{
if(tree)
{
select_post(tree->lefted);
select_post(tree->righted);
cout<<tree->ch;
}
}
int main()
{
scanf("%s%s",pre_name,in_name);
int n=strlen(pre_name);
Root=build(0,n-1,0,n-1);
select_post(Root);
cout<<endl;
return 0;
}
(3)例题三
Problem Description
已知一个按先序输入的字符序列,如abd,,eg,,,cf,,,(其中,表示空结点)。请建立二叉树并求二叉树的层次遍历序列。
Input
输入数据有多行,第一行是一个整数t (t<1000),代表有t行测试数据。每行是一个长度小于50个字符的字符串。
Output
输出二叉树的层次遍历序列。
Sample Input
2
abd,,eg,,,cf,,,
xnl,,i,,u,,Sample Output
abcdefg
xnuli
#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
char pre_name[100];//如果给出空节点的,则一个序列遍历就可建树,否则要两个序列!且层次遍历用队列,其他遍历用递归即可!
struct Node
{
char ch;
Node *lefted,*righted;
Node():ch(0),lefted(NULL),righted(NULL) {}
};
Node *Root;
Node *build(const char *s,int &p)
{
char sign=s[p++];
if(sign==',')
return NULL;
else
{
Node *root;
root=new Node();
root->ch=sign;
root->lefted=build(s,p);
root->righted=build(s,p);
return root;
}
}
void serch(vector<char>&u)
{
queue<Node*>que;
u.clear();
if(Root)//要考虑根节点为空的情况!!!!
{
que.push(Root);
}
while(!que.empty())//队列递归求层序遍历!!
{
Node *nodes=que.front();
que.pop();
u.push_back(nodes->ch);
if(nodes->lefted!=NULL)que.push(nodes->lefted);
if(nodes->righted!=NULL)que.push(nodes->righted);
}
}
int main()
{
int T;
cin>>T;
getchar();
while(T--)
{
scanf("%s",pre_name);
int m=0;
Root=build(pre_name,m);
vector<char>ans;
serch(ans);
for(int i=0; i<ans.size(); i++)
cout<<ans[i];
cout<<endl;
}
return 0;
}
五. 二叉树的层序与宽度
1. 二叉树的层序遍历
1.1 基本概念
层序遍历就是按照二叉树的层次高低遍历,优先遍历第一层的所有节点,然后遍历第二层等待,以此类推。下图的层序遍历结果为:F CE ADHG BM
1.2 实现方式
利用队列先入先出特点,放入顺序正好按照层序从上至下。
(1)数组方式
void LevelorderTraversal( BinTree BT ){
int head = 0;
int last = 0;
if(BT==NULL)return;
BinTree NodeList[1000];
NodeList[last++] = BT;
while(head<last){
BinTree node = NodeList[head++];
printf(" %c",node->Data);
if(node->Left)
NodeList[last++] = node->Left;
if(node->Right)
NodeList[last++] = node->Right;
}
}
(2)队列方式
void LevelorderTraversal( BinTree BT ){//²ãÐò±ãÀû
queue<BinTree> que;
que.push(BT);
while(!que.empty()){
BinTree T = que.front();
que.pop();
printf(" %c",T->Data);
if(!T->Left)que.push(T->Left);
if(!T->Right)que.push(T->Right);
}
}
2. 二叉树的宽度
简而言之,二叉树的宽度是二叉树每一层中的最大节点数。可以结合二叉树层序遍历的特点来求解二叉树的宽度,具体方法如下:
(1)数组记录
每个节点记录自己所在层数,用数组记录每个层数的节点数,取最值即可。
int getWidth(BTree T){
memset(sum,0,sizeof(sum));
queue<BTree> que;
T->Rank = 1;
que.push(T);
int MaxWid = 0;
while(!que.empty()){
BTree t = que.front();
que.pop();
sum[t->Rank]++;
MaxWid = max(MaxWid,sum[t->Rank]);
if(t->lefted!=NULL){
t->lefted->Rank = t->Rank+1;
que.push(t->lefted);
}
if(t->righted!=NULL){
t->righted->Rank = t->Rank + 1;
que.push(t->righted);
}
}
return MaxWid;
}
(2)队列长度
队列里面只存储当前层节点,队列长度就是当前层节点数目。
int GetWidth(BTree T){
queue<BTree> que;
que.push(T);
int MaxWid = 0;
while(1){
int len = que.size();
MaxWid = max(MaxWid,len);
if(len==0)break;
while(len > 0){
BTree t = que.front();
que.pop();
len--;
if(t->lefted!=NULL)que.push(t->lefted);
if(t->righted!=NULL)que.push(t->righted);
}
}
return MaxWid;
}
今天的文章二叉树的三种遍历的数据顺序_数据结构树的遍历[通俗易懂]分享到此就结束了,感谢您的阅读。
版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至 举报,一经查实,本站将立刻删除。
如需转载请保留出处:https://bianchenghao.cn/74786.html