均值不等式调和不等式_均值不等式的几何推导过程

近年来看到这几个概念不少次了，都有点混淆了，稍微总结下吧。

1. 几何算数均值不等式

这种是中学课本中常见的，对于一组非负实数 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，有
$$\sqrt[n]{x_1{x}_2\dots x_n}\le \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$$
之前我一直把这个当做柯西不等式，其实不是一回事。这个不等式可以用琴声不等式证明（两边取 ln），但貌似不能用柯西不等式证明（没查到）。

广义不等式：

min ⁡ { x 1 , … , x n } ≤ n 1 x 1 + ⋯ + 1 x n ≤ x 1 … x n n ≤ x 1 + ⋯ + x n n ≤ x 1 2 + ⋯ + x n 2 n 2 ≤ x 1 p + … x n p n p ≤ max ⁡ { x 1 , … , x n } \min\{x_1,\dots,x_n\}\leq \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}\leq \sqrt[n]{x_1\dots x_n}\leq \frac{x_1+\dots+x_n}{n}\\ \leq\sqrt[2]{\frac{x_1^2+\dots+x_n^2}{n}}\leq \sqrt[p]{\frac{x_1^p+\dots x_n^p}{n}}\leq \max\{x_1,\dots, x_n\} min{
x1​,…,xn​}≤x1​1​+⋯+xn​1​n​≤nx1​…xn​
​≤nx1​+⋯+xn​​≤2nx12​+⋯+xn2​​
​≤pnx1p​+…xnp​​
​≤max{
x1​,…,xn​}

上述不等式又称作 HM-GM-AM-QM 不等式（调和不等式，几何不等式，算术不等式，幂均值不等式）。
其中：第二项为调和均值，第三项为几何均值，第四项为算术均值，第五项为平方均值

2. 柯西不等式

柯西不等式其实是用向量的内积表示的，对于两个向量 $\mathbf{u}$ 与 $\mathbf{v}$，
$$|⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩{|}^2\le ⟨\mathbf{u},\mathbf{u}⟩\cdot ⟨\mathbf{v},\mathbf{v}⟩$$

列向量时可以写成：

$$({\mathbf{u}}^{\prime }\mathbf{v}{)}^2\le ({\mathbf{u}}^{\prime }\mathbf{u})({\mathbf{v}}^{\prime }\mathbf{v})$$

典型的应用是下面的式子：
$$(ac+bd{)}^2\le (a^2+b^2)(c^2+d^2)$$

其中，$\mathbf{u}=(a,b)$，$\mathbf{v}=(c,d)$
可以利用向量的乘积理解：
$$\mathbf{a}\ast \mathbf{b}=|a||b|\cos \theta \le |a||b|$$

又称柯西-施瓦茨不等式。

柯西不等式还有一个变形：
$$\frac{(\sum u_i{)}^2}{\sum v_i}\le \sum \frac{u_i^2}{v_i}$$

这里面设计向量：$u_i^{\prime }=\frac{u_i}{\sqrt{v_i}}$，$v_i^{\prime }=\sqrt{v_i}$，就能推出上面的不等式

3. 赫尔德不等式

Hölder’s inequality，该不等式是柯西不等式的推广：

$$\sum _{k=1}^n|x_k{y}_k|\le {\left(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p\right)}^{1/p}{\left(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^q\right)}^{1/q}$$

其中 $p>1,q>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. 这个等式也可以写成范数形式：
$$\Vert xy{\Vert }_1\le ||x|{|}_p\Vert y{\Vert }_q$$

赫尔德不等式可以通过下面的杨氏不等式证明：

$$ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$$

其中 $a\ge 0,b\ge 0,p>1,q>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$

4. 琴生不等式

琴生不等式基于概率论，若 $f(x)$ 为凸函数，则
$$E(f(x))\ge f(E(x))$$
若 $f(x)$ 为凹函数，则
$$E(f(x))\le f(E(x))$$

凸函数与凹函数的定义可以根据琴生不等式表示。即：
凸函数
$$\sum _{i=1}^n{\lambda }_{i}f(x_i)\ge f(\sum _{i=1}^{n}f({\lambda }_i{x}_i))$$
其中， ${\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i=1$, $0\le {\lambda }_i\le 1$.

从琴生不等式可以推出：
$$\frac{1}{n}\le a_1^2+a_2^2+\dots a_n^2$$
其中，$a_1+a_2+\cdots +a_n=1$。这个可以令 $f(x)=x^2$，利用它是凸函数推出（令 $x_i=a_i,{\lambda }_i=\frac{1}{n}$）。

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