向量和矩阵范数的定义_矩阵范数与谱半径的关系

一、向量的范数

首先定义一个向量(一般用列向量表示)为：

1.1 向量的1范数

向量的1范数即：向量的各个元素的绝对值之和，上述向量a的1范数结果就是：29，MATLAB代码实现为：norm（a，1）；

1.2 向量的2范数

向量的2范数即：向量的每个元素的平方和再开平方根，上述a的2范数结果就是：15，MATLAB代码实现为：norm（a，2）；

$||a|| = \sqrt{a^Ta} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + .. + {a_n}^2}$

$||a||^2 = a^Ta = {a_1}^2 + {a_2}^2 + .. + {a_n}^2$

1.3 向量的无穷范数

1.向量的负无穷范数即：向量的所有元素的绝对值中最小的：上述向量a的负无穷范数结果就是：5，MATLAB代码实现为：norm（a，-inf）；
2..向量的正无穷范数即：向量的所有元素的绝对值中最大的：上述向量a的负无穷范数结果就是：10，MATLAB代码实现为：norm（a，inf）；

二、矩阵的范数

首先我们将介绍数学中矩阵的范数的情况，也就是无论哪个学科都统一的一种规定。。。
例如矩阵A = [ -1 2 -3；
4 -6 6]

2.1 矩阵的1范数

矩阵的1范数即：矩阵的每一列上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的，（列和最大），上述矩阵A的1范数先得到[5,8,9]，再取最大的最终结果就是：9，MATLAB代码实现为：norm（A，1）；

2.2 矩阵的2范数

矩阵的2范数即：矩阵 A^TA 的最大特征值开平方根，上述矩阵A的2范数得到的最终结果是：10.0623，MATLAB代码实现为：norm（A，2）；

应用：

?? 矩阵A乘以向量x = 矩阵A的2范数乘以向量x的2范数再乘以 cos $\theta$

$Ax = ||A|| ||x|| cos\theta$

2.3 矩阵的无穷范数

矩阵的1范数即：矩阵的每一行上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的，（行和最大），上述矩阵A的1范数先得到[6；16]，再取最大的最终结果就是：16，MATLAB代码实现为：norm（A，inf）；

接下来我们要介绍机器学习的低秩，稀疏等一些地方用到的范数，一般有核范数，L0范数，L1范数（有时很多人也叫1范数，这就让初学者很容易混淆），L21范数（有时也叫2范数），F范数。。。上述范数都是为了解决实际问题中的困难而提出的新的范数定义，不同于前面的矩阵范数。

2.4 矩阵的核范数

矩阵的核范数即：矩阵的奇异值（将矩阵svd分解）之和，这个范数可以用来低秩表示（因为最小化核范数，相当于最小化矩阵的秩——低秩），上述矩阵A最终结果就是：10.9287， MATLAB代码实现为：sum(svd(A))

2.5 矩阵的L0范数

矩阵的L0范数即：矩阵的非0元素的个数，通常用它来表示稀疏，L0范数越小0元素越多，也就越稀疏，上述矩阵A最终结果就是：6

2.6 矩阵的L1范数

矩阵的L1范数即：矩阵中的每个元素绝对值之和，它是L0范数的最优凸近似，因此它也可以表示稀疏，上述矩阵A最终结果就是：22，MATLAB代码实现为：sum(sum(abs(A)))

2.7 矩阵的F范数

矩阵的F范数即：矩阵的各个元素平方之和再开平方根，它通常也叫做矩阵的L2范数，它的有点在它是一个凸函数，可以求导求解，易于计算，上述矩阵A最终结果就是：10.0995，MATLAB代码实现为：norm（A，‘fro’）

?? 矩阵A乘以向量x = 矩阵A的L2范数乘以向量x的L2范数再乘以 cos $\theta$