DiNN学习笔记1-理论部分

背景知识

机器学习即服务

机器学习即服务 (Machine Learning as a Service, MLaaS) 可以简单理解为：一系列将机器学习工具作为云计算服务的一部分的服务。 MLaaS 帮助客户从机器学习中获益，却不用承担建立机器学习模型所需的成本、时间和风险。服务商提供预测分析、深度学习、api、数据可视化、自然语言处理等服务；计算由服务商的数据中心处理完成。

以图中的 MLaaS 模型为例，服务商训练一个可用的模型，客户端将其需要进行预测的数据 $x$ 提供给服务商，服务商将其输入机器学习模型 (如神经网络) 后将结果 $M(x)$ 返回给用户端。可以看出该方案存在的一个问题：用户端的数据 $x$ 会泄露给服务商。在用户端的数据 $x$ 为敏感数据，而服务商不一定可信的情况下，用户端可能不希望自己的数据暴露在服务器端。

MLaaS 中的全同态加密

一个解决方案为全同态加密：

用户将自己的数据加密后上传云服务器，云服务器在加密的数据上进行运算，得到运算结果后返回给用户端，用户端解密后得到所需的结果 $M(x)$ 。这类方案在保护用户隐私的同时也达到了运算的目的，然而效率却不敢恭维。因此 Pascal Paillier 等人设计了 fhe-DiNN —— 一种基于全同态加密的神经网络预测方案，旨在尽可能快速地同态评估用户输入的数据。

神经网络

异常熟悉的模型，不赘述：

将隐藏层中的每个神经元进行放大：

可见全同态加密只要能够运算 $y=f({\sum }_i{w}_i{x}_i)$ 就能完成密文数据下的神经网络预测。

Fhe-DiNN 中的默认设定

Fhe-DiNN 中有一些默认的设定：

1. 模型是在明文上已经训练好的 (本论文实验中是由 python 训练的) 明文模型，输入的数据为加密数据，输出的结果为加密的神经网络输出结果。
2. Fhe-DiNN 旨在尽可能地提升评估的效率，因此会在准确率上有一定的损失。
3. Fhe-DiNN 只在图像识别中进行了示范，但其实本文提出的是一个泛化的模型，在其他机器学习领域也同样适用。实验中使用的数据集为 MNIST 手写数据集。

Fhe-DiNN 方案

神经元中的计算

为了计算神经元的输出 $y=f({\sum }_i{w}_i{x}_i)$ ，首先需要计算激活函数中的累加结果 (Multisum) :

$$\sum _i{w}_i{x}_i$$

给定权重 $w_i$ 和加密的输入 $Enc(x_i)$ ，计算他们的乘积与和：

$$\sum _i{w}_i\cdot Enc(x_i)$$

注意到为了保证正确性，需要权重为整数 : $w_i\in \mathbb{Z}$ 。如果权重为浮点数则会损失正确性。此外，权重的取值范围是在准确率和效率之前权衡的问题。

离散神经网络

为了得到一个 FHE 友好的神经网络，本文设计了离散神经网络 Discretized neural networks, DiNN ，该神经网络输入为 { − I , . . . , I } \{ -I, … , I \} {
−I,...,I} 中的整数；权重为 { − W , . . . , W } \{ -W, … , W \} {
−W,...,W} 中的整数；神经元中的激活函数会将累加的和值映射到 { − I , . . . , I } \{ -I, … , I \} {
−I,...,I} 中的整数。这使得神经元的计算可以叠加，即可以增加任意层数而不会产生输入输出取值范围不同的问题。

• 取值范围并没有看起来的这么严格，比如可以只取 0, 1 构成二进制网络
• 这是 size 和 performance 之间的权衡的问题，当离散化一个神经网络时，需要更大的取值范围来保证准确率
• 从实数域上的神经网络转换为离散神经网络十分简单，只需要舍去小数部分即可。DiNN中是这么做的，但这并不一定是最好的

DiNN 评估步骤

DiNN 评估 (Evaluation) 的整体步骤如下：

1. 同态地计算累加： ${\sum }_i{w}_i\cdot Enc(x_i)=Enc({\sum }_i{w}_i{x}_i)$
2. 同态地计算激活函数： $Enc(f({\sum }_i{w}_i{x}_i))$
3. 进行自举： $En{c}^{\ast }(f({\sum }_i{w}_i{x}_i))$ 减少噪声，使得运算能够不停运行
4. 对每一层的每个神经元进行 1-3 的步骤

消息空间的确定方式可以为：自己猜测、数据推断 或 最坏情况分析 (作者不推荐)

随着乘积、累加等操作，密文的噪声会增长，因此需要从一个很小的噪声开始运算，为保证安全性，需要选择较大的参数。

自举的引入

在此之前的一些工作中 (例如 Cryptonets, DGBL16) 研究者使用了 SHE (SomeWhat Homomorphic Encryption) 。在 SHE 方案中同态加密的参数需要预先设置，并且随着神经网络层数的不断增大，密文的噪声逐渐增加，需要增大参数来保证密文不会被错误解密，这使得 SHE 方案在深度神经网络中不可行（网络深度过大导致参数过大甚至不实际）。

本文的方案引入了自举 (Bootstrapping) ，在每次运算后都更新密文，使得密文的噪声始终控制在一定范围内，且密文的噪声与神经网络的层数不相关，因此该方案可以构造任意深度的神经网络，并且理论上运行时间与神经网络的层数呈近似线性。

文中使用的自举方案为 TFHE 中的门自举 (笔记1) ，在每次运算后都会进行一次自举的步骤，保证密文中噪声的稳定。大体流程可以理解为一个幸运大转盘：

1. 首先对这个转盘进行一次旋转 (同态计算 $X^{b-<s,a>}$ ) ，需要使用到自举密钥
2. 将图中箭头指向的密文取出
3. 进行密钥转换，使其变为使用原先的密钥加密的密文，消息不变

激活函数的同态评估

本文将激活函数与自举操作相结合，即在计算激活函数的同时完成密文的自举操作。本文所使用的的激活函数为符号函数： $f(x)=sign(x)$ ，方法大致流程如下：

设计如上图所示的幸运大转盘，输出旋转到的数字的符号，即正数输出1，负数输出-1。

对 TFHE 的改进

此外，本文的作者们还在 TFHE 的基础上进行了 4 种改进，分别为：明文的打包、密钥转换的前置、动态变化的消息空间和优化盲旋步骤。

明文的打包

为了减少方案中的带宽，本文将多个值打包到一个密文中，即使用 TLWE 密文代替原先的 LWE 密文，将 N 个元素的密文大小从 N 个 LWE 密文 减小到 1 个 TLWE 密文。

这种打包技术使得 TLWE 成为 LWE 的一个有吸引力的变种，在 FHE 应用中被广泛使用；通过 Extract 可以提取出 LWE 密文。以一层神经网络为例，计算累加的整体流程如下：

1. 首先使用标准的打包技术，将多项式加密为 TLWE 密文： $ct=TLWE.Encrypt({\sum }_i{p}_i{X}^i)$
2. 对第一个隐藏层中的权重进行同样的操作： $w_{pol}:={\sum }_i{w}_i{X}^{-i}$
3. 将 1 和 2 中式子相乘可得到累加结果： $ct\cdot w_{pol}=Enc({\sum }_i{w}_i{x}_i)$

此外，因为模型已经训练好，在预测过程中不会改变，因此 $w_{pol}$ 不会改变，可以预先计算好并将其 FFT 表示存储在内存中，在分类步骤中节省时间。

从环面上的元素的数量来看，代价从 $N(n+1)$ 变为 $N(k+1)$ 。注意到得到的密文是 $N$ 维的 LWE 密文，而不是原先的 $n$ 维 LWE 密文，因此需要通过密钥转换才能成为合法的密文。

密钥转换的前置

在这里密钥转换的主要目的是减少 LWE 的维度。由于 自举密钥的大小、最终噪声的 level 、外积计算的数量 都和 LWE 的维度线性相关，因此减小维度可以在 内存使用 和 计算效率 上相当重要。本文的作者认为在自举过程开始时减小维度，比在自举过程结束时减小维度的效果更好，因此对密钥转换过程进行了前置。

这样的做法颠倒了两种 LWE 方案的使用：现在所有的事情都在高维的 N-LWE 上完成，而抵维的 n-LWE 只在自举操作期间使用。密钥转换中的噪声不再用于任何计算（直接进入盲旋），因此允许密钥转换中的噪声变得更大，从而减少了保持相同安全性所需的维度，从而在每次自举过程中节省时间。

唯一的缺点是：使用更高维的 N-LWE sample 意味着服务器的内存使用量略高，输出的密文更大，计算密文加法的速度略慢。但是这些操作与自举相比几乎是瞬时的，所以这不是什么问题。

动态变化的消息空间

在整个神经网络计算的过程中，消息空间可以始终保持不变。然而如果在神经网络传递的过程中改变消息空间 (减少 slides 的数量) 可以获得更大的噪声容量，进而减小所需的参数。

文中的操作为更改自举使用的轮子。通过更改每个神经元中轮子上初始的值的数量和大小，能够得到不同的消息空间，进而在神经网络计算的过程中得到不同的消息空间。具体的操作为将 testVector 设置为：

$$\frac{-1}{2B_l+1}\sum _{i=0}^{N-1}{X}^i$$

其中 $B_l$ 由当前的神经网络 $l$ 层决定，是下一层神经网络 ( $l+1$ 层) 的累加的边界。

优化盲旋步骤

盲旋算法概述：

输入：

• 一个 n-LWE 密文 $(a\text{a}a,b)$ ，其中系数属于 ${\mathbb{Z}}_{2N}$
• 一个 TLWE 密文 $C\text{C}C$ ，即 testVector 的加密
• 自举密钥 $bk$

输出：

• 一个 TLWE 密文 $X^{b-<s\text{s}s,a\text{a}a>}\cdot testVector$

算法步骤：

1. $ACC\leftarrow X^b\cdot C\text{C}C$
2. for $i$ = 1 … $n/2$ do
3. ​ $ACC\leftarrow ((X^{a_{2i}+a_{2i+1}}-1)b{k}_{3i}+(X^{a_{2i}}-1)b{k}_{3i+1}+(X^{a_{2i}+1}-1)b{k}_{3i+2})⊡ACC$
4. end for
5. return $ACC$

文中的优化参考了 [ZYL+17] 中的技术，是 [ZYL+17] 与 TFHE 两种方案的折中。效果对比如下：

DiNN 方案的整体流程

方案的整体流程示意图：

1. 将图像加密为 TLWE 密文
2. 将 TLWE 密文乘以隐藏层的权重组成的多项式，这一步可以使用 FFT 加速
3. 从所的密文中提取出一个 1024-LWE 的密文，它是结果常数项的加密
4. 进行密钥转换，得到一个 450-LWE 的密文
5. 通过自举减少噪声的 level
6. 对密文结果和输出层的权重进行乘法和累加
7. 返回神经网络输出结果的 10 个密文，用户解密后可根据分数最高的标签得到神经网络的分类结果

参考资料

视频：https://www.youtube.com/watch?v=iKAnkb7zURo

代码：https://github.com/mminelli/dinn

PPT：https://www.di.ens.fr/~minelli/docs/slides-crypto-2018.pdf

论文：Bourse F, Minelli M, Minihold M, et al. Fast homomorphic evaluation of deep discretized neural networks[C]//Annual International Cryptology Conference. Springer, Cham, 2018: 483-512.

[ZYL+17] Zhou T, Yang X, Liu L, et al. Faster bootstrapping with multiple addends[J]. IEEE Access, 2018, 6: 49868-49876.

本文仅供个人学习使用

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