第二类换元积分法三角代换_第二类换元积分法t的范围

第二类换元积分法三角代换_第二类换元积分法t的范围【高数】第二类换元积分法-三角换元-取值范围取定原理_第二类换元积分

引例:

        不定积分常用公式证明  \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}dx\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx

例1:

第二类换元积分法三角代换_第二类换元积分法t的范围

例2:

第二类换元积分法三角代换_第二类换元积分法t的范围

提出问题:

        为何例1中 t 的范围为(-pi/2,pi/2?例2中 t 的范围为(0.pi/2) 和 (pi,3*pi/2)?

        这么做出于什么原因,有什么目的?

原理:

        ①第二类换元积分法使用条件

                下文均称换元后的函数为 “换元函数

                换元函数需连续其导函数恒不等于0(否则说明换元函数为常数a,其反函数为x=a,即此时换元函数的反函数导数不存在)

                总的来说:👉换元函数有可导的反函数

                引例中的各区间满足换元函数单调,x与y是一 一对应的关系,反函数存在,且换元函数导函数连续、不为0,反函数可导。

更多内容:

反函数的导数证明:(看看其前提、条件)

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第二类换元积分法证明:(看看其前提、条件)

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         ②有效换元的前提:自变量范围不应改变

                有些区间也满足换元函数导函数连续且不为0,但不能完全覆盖原来x的取值范围

                举个栗子:例1  t 只取(0,pi/2)

                                  例2  t 只取(0,pi/2)

        ③换元的目的:简便积分求解

                同时有些区间既满足换元函数有可导的反函数,又满足覆盖原来x的取值范围,但会带来绝对值正负的讨论,如:

                例1中 t 取(0,pi/2)U(pi/2,pi),(sect)^2开根后带绝对值

                例2中 t 取(0,pi), (tant)^2开根后带绝对值

                基于简便的原则,合理取定取值范围能最便捷地求解积分。

结语:学好数学能摸猫猫

        (学数学提高逻辑思维能力与行动力,所以能摸猫猫(x))

第二类换元积分法三角代换_第二类换元积分法t的范围

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