p积分判断敛散性_如何判断级数的敛散性

本菜鸡的第一篇博客，请多多关照~

前言

以下是关于我对p级数的敛散性的证明的个人理解，可能有不严谨之处，欢迎各位大佬指正。

先给出结论

$$p级数\sum _{i=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}(p>1收敛，p\le 1发散)$$

证明过程

我用的是积分判别法证明。
根据p级数构造函数
$$f(x)=\frac{1}{n^p}，n\in [1,+\infty )$$
显然，f(x)单调递减，且是一个非负的连续函数（满足积分判别法的要求），所以级数和定积分$${\int }_1^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$$同敛散。

分类讨论p：
①当p=1，$$f(x)=\frac{1}{x}$$不定积分$${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln x{|}_1^{+\infty }=+\infty$$发散，从而原级数发散。

当p不等于0，$$f(x)=\frac{1}{x^p}$$记定积分$$I={\int }_1^{+\infty }(\frac{1}{x}{)}^p\mathrm{d}x=\underset{b\to +\infty }{\lim }\frac{1}{1-p}[b^{(1-p)}-1]$$,
②当p<1，(1-p)>0,$$I=\underset{b\to +\infty }{\lim }\frac{1}{|1-p|}[b^{|1-p|}-1]$$
故I发散（因为I趋于+∞），从而原级数发散。

③当p>1，(1-p)<0，$$I=\underset{b\to +\infty }{\lim }-\frac{1}{|1-p|}[\frac{1}{b^{|1-p|}}-1]=\frac{1}{|1-p|}$$故I收敛，从而原级数收敛。

证毕。

总结

本人第一次写博客，加上比较菜鸡，如果有写的不对的地方，或者思路不对，欢迎大佬们批评指正，大家一起进步。

今天的文章p积分判断敛散性_如何判断级数的敛散性分享到此就结束了，感谢您的阅读。