本章接下来的内容,将着重介绍如何得到要求的GBW与PM,同学们可以参照对比sansen第五、六章学习,但抛开课本,也完全可以理解本部分的内容。我们会将重点放在如何通过给定的指标——相位裕度以及GBW,得到合适的小信号参数——第一级跨导gm1、第二级跨导gm2以及密勒补偿电容Cc,而抛开诸如“开环频率响应与闭环频率响应的关系”、“为什么需要70°的相位裕度,频率响应才能完全没有尖峰”以及“频率特性与其他指标如何折中”等问题。
以上被我们忽略的问题,事实上都及其重要,但我相信第一次接触运放设计的同学们,比起“尽善尽美”地掌握所有运放设计理论,更关心如何快速上手,即如何满足设计指标。因此,在本节内容中,我们只需要关心,我们如何得到60°的相位裕度,以及100MHz的GBW,而无需关心这些指标为什么是这样,满足这样的指标又意味着适用于哪些应用。
接下来,笔者将贯通全章,通过分步骤的方式,带领同学们一步步从给定的相位裕度、GBW,得到合适的设计参数。
Step 1 指标分析与转化
首先需要明确的是,由于我们引入的运放环境,是单位增益负反馈,因此反馈系数F=1,则环路增益LG可以表示为:
其中Aopen为运放的开环增益。
也就是说,反馈系统环路增益的频率响应,与运放本身开环的频率响应几乎一致,只有相位上存在180°的区别。因此,在以下的分析中,我们采用运放的开环频率响应,代替环路增益的频率响应。
我们接下来,把目光放在GBW与PM。在这两个指标中,GBW是相对容易理解与分析的一个,即增益与带宽的乘积,也可以理解为单位增益带宽,直接与运放传输函数中的极零点相关联。
而相位裕度这一指标则不那么直观,我们首先要将“相位裕度大于60°”这一要求,转化为对极零点位置的要求。
首先,我们知道,这个电路存在一个主极点——由Cc的密勒效应引入,一个次极点——由负载电容CL引入,以及一个正零点——由Cc的前馈效应引入。
在这里我们忽略了由节点A引入的一个极零点对,因为这一节点的寄生电容引入的零点位于它引入的极点的二倍处,且该零点为负零点,可以很大程度上补偿自身引入的极点,因此我们认为这一极零点对频率响应影响较小。但由于极点在零点之前,因此我们这里给这一因素留有设计裕量,认为这一极零点对“吃掉”了5°的PM,而忽略这一对极零点对频率响应的其他影响。
零极点定性分析与Bode图示意:
基于以上分析,二级运放的频率响应可以被描述为:
其中,Av0为直流增益,ωz为零点,ωd为主极点,ωnd为次主极点。我们在这里先不讨论这些极零点具体的表达式。
相位裕度大于60°,也就意味着,将s=j*GBW代入H(s)的表达式,其相位∠H(s)应大于-120°,即:
去掉负号后:
由于GBW等于直流增益Av0与主极点ωd为主极点的乘积,而Av0通常足够大,所以其的
我们认为约等于90°。因此有:
现在只剩下一个零点与一个次主极点,而零点在设计中,由于其频率较高,通常对相位裕度的影响小于次主极点,因此我们只给零点带来的相移留8°的余量,则有:
那么我们就可以得到ωnd与GBW的关系:
在这里我们留有余量,则认为次主极点ωnd应至少为GBW的4倍。同时:
那么我们就可以得到ωz与GBW的关系:
在这里我们留有余量,则认为ωz应至少为GBW的8倍。
至此,我们将相位裕度的要求,转化为了次主极点ωnd、ωz与GBW的关系,更有利于我们对二级运放进行直观的设计。
Step 2 零极点计算
在明确了对极零点的要求后,我们还需要用二级运放中的小信号设计参数——gm1、gm2以及Cc,来写出极零点的表达式。
首先,我们画出差分小信号模型图:
其中:
Rn1为第一级的输出阻抗,由M1与M4的输出阻抗并联构成;
Cn1为第一级输出节点对地的寄生电容(不包含补偿电容的密勒效应),由M1、M4的漏极电容以及M2的栅极电容构成;
RL为第二级的输出阻抗,由第二级的两个管子——M2、M6的输出电阻并联组成;
CL为二级运放的负载电容,由指标决定为1pF,会被M2、M6的漏极电容略微影响。
在这里,我们将第一、二级等效为两个gm单元,大小分别等于M1管的gm1与M2管的gm2。
然后,我们可以进一步简化我们的小信号模型图:
在之后的篇幅中,我们都采用这个小信号模型,对差分小信号进行分析计算。
得到了小信号模型,我们就可以通过计算,得到这个小信号电路的零极点。
我们在这里总结了ωnd与GBW的简化形式,在后续的分析中,我们采用以下的表达式,在方便设计的同时,保证了准确性:
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