齐次线性方程组基础解系中解向量的个数_齐次线性方程组的基础解系和通解「建议收藏」

设有齐次线性方程组
$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots a_{2n}{x}_n=0\\ \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots a_{mn}{x}_n=0\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
记
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right),\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$

则 $(1)$ 式可写成向量方程
$$\mathbf{A}\mathbf{x}=0\text{\hspace{1em}(2)}$$
定义 1（解向量）　若 $x_1={\xi }_{11},x_2={\xi }_{21},\cdots ,x_n={\xi }_{n1}$ 为 $(1)$ 的解，则
$$\mathbf{x}={\mathbf{\xi }}_1=\left(\begin{array}{c}{\xi }_1\\ {\xi }_2\\ ⋮\\ {\xi }_n\end{array}\right)$$
称为方程组 $(1)$ 的 解向量，也就是向量方程 $(2)$ 的解。

根据向量方程 $(2)$，解向量具有如下性质和证明：

性质 1　若 $\mathbf{x}={\mathbf{\xi }}_1,\mathbf{x}={\mathbf{\xi }}_2$ 为向量方程 $(2)$ 的解，则 $x={\mathbf{\xi }}_1+{\mathbf{\xi }}_2$ 也是向量方程 $(2)$ 的解。

证明　因为 $\mathbf{A}({\mathbf{\xi }}_1+{\mathbf{\xi }}_2)=\mathbf{A}{\mathbf{\xi }}_1+\mathbf{A}{\mathbf{\xi }}_2=0+0=0$，所以 $\mathbf{x}={\mathbf{\xi }}_1+{\mathbf{\xi }}_2$ 满足方程 $(2)$，即为向量方程 $(2)$ 的解。

性质 2　若 $\mathbf{x}={\mathbf{\xi }}_1$ 为向量方程 $(2)$ 的解，$k$ 为实数，则 $\mathbf{x}=k{\mathbf{\xi }}_1$ 也是向量方程 $(2)$ 的解。

证明　因为 $\mathbf{A}(k{\mathbf{\xi }}_1)=k\mathbf{A}{\mathbf{\xi }}_1=k0=0$，所以 $\mathbf{x}=k{\mathbf{\xi }}_1$ 满足方程 $(2)$，即为向量方程 $(2)$ 的解

定义 2（基础解系）　齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的 基础解系。

把向量方程 $(2)$ 的全体解所组成的集合记作 $S$，如果能求得解集 $S$ 的一个最大无关组 $S_0:{\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_t$，那么方程 $(2)$ 的任一解都可由最大无关组 $S_0$ 线性表示；另一方面，根据性质 1 和性质 2 可知，最大无关组 $S_0$ 的任何线性组合
$$\mathbf{x}=k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2+\cdots k_t{\mathbf{\xi }}_t(k_1,k_2,\cdots ,k_t为任意实数)$$
都是方程 $(2)$ 的解，因此上式便是方程 $(2)$ 的通解。

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