伯努利试验与二项概率_二项分布是什么

编程小号 • 2024-05-22 08:46 • 未分类

伯努利（Bernoulli）试验

如果试验E只有两种可能的结果：（发生）和 $\bar{A}$ （不发生，为的逆事件），则称E为伯努利（Bernoulli）试验。

设发生的概率为 P(A)=p ，其中 0<p<1 ，那么 $\bar{A}$ 发生的概率为 $P(\bar{A})=1-p$ 。

将试验E独立地重复n次，那么就称为n重伯努利试验。

重复：意思是在每次试验中，概率保持不变。例如抛硬币，每次朝上的概率是不变的。放回取样，每次摸出红球的概率是不变的。但如果是不放回取样，那么每次摸出红球的概率就是变化的。

独立：意思是每次试验的结果互不影响。例如抛硬币，每次的结果是互不影响的。放回取样，每次的结果是互不影响的。但如果是不放回取样，那么每次的结果是互相影响的。

在n重伯努利试验中，假设第次试验的结果为 $C_{i}$ ，其中 $C_{i}$ 等于或者 $\bar{A}$ ，独立就意味着：

$P(C_{1}C_{2}\cdots C_{n})=P(C_{1})P(C_{2})\cdots P(C_{n})$

在n重伯努利试验中，假设随机变量代表事件出现的次数，那么其概率为：

$P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ ，其中 $k=0,1,2,\cdots ,n$

称随机变量服从参数为n,p的二项分布，记为 $X\sim b(n,p)$ 。

备注：之所以把上式称为二项分布，是因为 $C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ 正好等于二项式 $(p+q)^{n}$ 展开式中包含 $p^{k}$ 的那一项（将1-p用q代替）。

当n=1时，意思是只进行了一次试验，上式变为：

$P(X=k)=p^{k}(1-p)^{1-k}$ ，其中 k=0,1

这个就变成为(0-1)分布了。所以，(0-1)分布是二项分布的特殊情况。

E(X)=np

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