标量三重积公式_标量三重积和矢量三重积

标量三重积公式_标量三重积和矢量三重积推导标量三重积&向量三重积_标量三重积公式的证明

作者:翟天保Steven
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说明

       近期项目中有涉及到向量运算的公式,其中有一个内容是向量三重积,即:

\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})

       过去的基础知识有些遗忘,特此以本篇文章进行一轮回顾。

       本文主要针对标量三重积和向量三重积,进行特性说明和公式推导,以加深记忆和理解。

标量三重积

定义:

       标量三重积是将三个向量中的某一个,与另两个向量叉积所得到的新向量,进行点积操作,这样结果就是一个标量,相当于两个向量点积。

       设a、b、c是三个向量,则标量三重积可表示为:\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})

特性1:

       假设a=a1i+a2j+a3k,b=b1i+b2j+b3k,c=c1i+c2j+c3k,其中i、j、k是笛卡尔坐标系的三个轴正方向的单位向量。则有:

\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=\left|\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right|

证明1:

       向量叉乘可表示为行列式形态,对行列式进行拆解,因为i和i两个向量方向一致,所以点积为1,而i、j、k之间两两垂直,点积为0,不难得到结论。

       \begin{array}{l} \mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c}) \\ =\left(a_{1} \mathbf{i}+a_{2} \mathbf{j}+a_{3} \mathbf{k}\right) \cdot\left|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right| \\ =\left(a_{1} \mathbf{i}+a_{2} \mathbf{j}+a_{3} \mathbf{k}\right) \cdot\left(\mathbf{i}\left|\begin{array}{cc} b_{2} & b_{3} \\ c_{2} & c_{3} \end{array}\right|-\mathbf{j}\left|\begin{array}{cc} b_{1} & b_{3} \\ c_{1} & c_{3} \end{array}\right|+\mathbf{k}\left|\begin{array}{cc} b_{1} & b_{2} \\ c_{1} & c_{2} \end{array}\right|\right) \\ =\left|\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right| \end{array}

特性2:

       由行列式的性质,我们可知,当顺序不变,改变abc的位置也不会影响标量三重积的结果,如:

\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=\mathbf{b} \cdot(\mathbf{c} \times \mathbf{a})=\mathbf{c} \cdot(\mathbf{a} \times \mathbf{b})

证明2:

       以\mathbf{b} \cdot(\mathbf{c} \times \mathbf{a})为例:

       \begin{array}{l} \mathbf{b} \cdot(\mathbf{c} \times \mathbf{a}) \\ =\left(b_{1} \mathbf{i}+b_{2} \mathbf{j}+b_{3} \mathbf{k}\right) \cdot\left|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{array}\right| \\ =\left(b_{1} \mathbf{i}+b_{2} \mathbf{j}+b_{3} \mathbf{k}\right) \cdot\left(\mathbf{i}\left|\begin{array}{cc} c_{2} & c_{3} \\ a_{2} & a_{3} \end{array}\right|-\mathbf{j}\left|\begin{array}{cc} c_{1} & c_{3} \\ a_{1} & a_{3} \end{array}\right|+\mathbf{k}\left|\begin{array}{cc} c_{1} & c_{2} \\ a_{1} & a_{2} \end{array}\right|\right) \\ =\left|\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right| \end{array}

       注意行列式中的正负号问题,b1的位置代数余子式是-1,b2的位置代数余子式是+1。

特性3:

       标量三重积的变换式:

\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=-\mathbf{a} \cdot(\mathbf{c} \times \mathbf{b})

\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=-\mathbf{b} \cdot(\mathbf{a} \times \mathbf{c})

\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=-\mathbf{c} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{a})

       上述式子根据特性2变换,注意\mathbf{b} \times \mathbf{c}=-\mathbf{c} \times \mathbf{b},方向相反,参考右手法则。

特性4:

       标量三重积中任意两个向量相等,则标量三重积等于0。

       假如a和b相等,则a叉乘b就为0,0点积任何数都为0。

表示形式:

       常用括号来表示标量三重积:

       [\mathbf{a} \mathbf{b} \mathbf{c}]=\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}

几何意义:

       几何上,由三个向量表示的平行六面体的体积,等于三个向量的标量三重积:

V=|\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})|=\left\|\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right\|

       

向量三重积

定义:

       向量三重积是三个向量中的某一个,与另两个向量叉积所得到的新向量,进行叉积操作,这样结果还是一个向量。

       设a、b、c是三个向量,则向量三重积可表示为:\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})

特性:

       对任意向量a、b、c,有:

\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})

       许多人为了方便记忆该公式,用BAC-CAB(BACK-CAB,后面的出租车)来表示它,死背不如理解,接下来进行公式推导。

证明:

       向量三重积得到的结果也是向量,向量有xyz三个分量,我们先分析x分量,假设\mathbf{b} \times \mathbf{c}=M,则有:

(\mathbf{a} \times \mathbf{M})_{x}=(\left|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ M_{x} & M_{y} & M_{z} \end{array}\right|)_{x} \\

       x分量相当于将i的余子式提取出来,也就是右下角的那部分,同理,M的各个分量也是如此,则公式表示为:

\begin{array}{l} (\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c}))_{x}=\mathbf{a}_{y}\left(\mathbf{b}_{x} \mathbf{c}_{y}-\mathbf{b}_{y} \mathbf{c}_{x}\right)-\mathbf{a}_{z}\left(\mathbf{b}_{z} \mathbf{c}_{x}-\mathbf{b}_{x} \mathbf{c}_{z}\right) \\ =\mathbf{b}_{x}\left(\mathbf{a}_{y} \mathbf{c}_{y}+\mathbf{a}_{z} \mathbf{c}_{z}\right)-\mathbf{c}_{x}\left(\mathbf{a}_{y} \mathbf{b}_{y}+\mathbf{a}_{z} \mathbf{b}_{z}\right) \\ =\mathbf{b}_{x}\left(\mathbf{a}_{x} \mathbf{c}_{x}+\mathbf{a}_{y} \mathbf{c}_{y}+\mathbf{a}_{z} \mathbf{c}_{z}\right)-\mathbf{c}_{x}\left(\mathbf{a}_{x} \mathbf{b}_{x}+\mathbf{a}_{y} \mathbf{b}_{y}+\mathbf{a}_{z} \mathbf{b}_{z}\right) \\ =(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b}_{x}-(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}_{x} \end{array}

        同理可得y和z分量:

\begin{array}{l} (\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c}))_{y}=(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b}_{y}-(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}_{y} \end{array}

 \begin{array}{l} (\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c}))_{z}=(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \mathbf{b}_{z}-(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \mathbf{c}_{z} \end{array}

        所以,不难得出:

\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}

另类证明:

       对\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})而言,\mathbf{b} \times \mathbf{c}将得到b向量和c向量所在平面的法向量n,n与a叉积所得向量必处于b和c所在平面,则可表示为:

\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=p\mathbf{b}+q\mathbf{c}

       此时的a向量与其也是垂直关系,点积则有:

\mathbf{a}\cdot(p\mathbf{b}+q\mathbf{c})=p\mathbf{ab}+q\mathbf{ac}=0

       若要等式恒成立,又考虑到p和q是常数,则p必然等于a和c的点积,q必然等于a和b的点积的负数,则有:

\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})=(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c}

       以上就是本文关于标量三重积和向量三重积相关知识的说明。

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今天的文章标量三重积公式_标量三重积和矢量三重积分享到此就结束了,感谢您的阅读。

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