Gauss型求积公式
1. 引言
在前一章《数值分析(9):数值积分之Newton-Cotes求积公式和复合求积公式》中,提出使用等分区间的方式来给出插值节点,从而得到lagrange插值多项式,最后得到Newton-Cotes求积公式。
从Newton-Cotes求积公式的余项中可以知道,它的代数精度有以下规律:
可以看到: Newton-Cotes求积公式是等距节点,n+1个节点,代数精度至少是n次。
那么同样的节点数,不采用等距分布,代数精度能否提高?
答案是肯定的,我们来看下面这个例子:
根据《数值分析(8):数值积分之Lagrange法》可知,代数精度与待定系数的数量相关,待定系数数量为 n n n,那么代数精度至少为 n − 1 n-1 n−1。
对于Newton-Cotes求积公式,因为要求区间等分,所以 x 0 x_0 x0和 x 1 x_1 x1都已经被确定了,待定的系数只有 A 0 A_0 A0, A 1 A_1 A1,因此代数精度至少为1。
而如果不等分区间,那么 x 0 x_0 x0和 x 1 x_1 x1也是待定系数,就有4个待定系数,代数精度至少为3.
为了尽可能地提升代数精度,就诞生了Gauss型求积公式,它的区间不一定时等分的。
2. Gauss型求积公式
如前所述,Gauss型求积公式就是尽可能地提升代数精度,如果将区间分为 n n n份,那么就有 2 n + 2 2n+2 2n+2个未知数,代数精度至少为 2 n + 1 2n+1 2n+1
那么此时的代数精度还可能会提高吗?因为理论上说是至少为 2 n + 1 2n+1 2n+1次代数精度,但是是不是可能出现 2 n + 2 2n+2 2n+2次代数精度的情况呢?答案是,最高也就是 2 n + 1 2n+1 2n+1,不可能出现 2 n + 2 2n+2 2n+2次代数精度的情况,证明如下:
2.1 Gauss型求积公式的定义
形如(4.1)具有最高代数精度(2n+1)次的求积公式
叫Gauss型求积公式,相应的求积节点叫Gauss点。
2.2 Gauss点的性质
关于Gauss点判定的充分必要条件为:
证明过程如下:
通过以上定理可以很容易得到下面这个定理,因为Gauss型求积公式的代数精度就是 2 n + 1 2n+1 2n+1次,即:
此定理证明过程如下:
2.3 构造Gauss型求积公式
可以看到Gauss型求积公式虽然精度高,但是待定系数太多,不方便求解,常用的求解方法有以下两个:
方法一:待定系数法。如例1
方法二:用定理4.2,先求求积节点,即用正交多项式的零点做Gauss点,再求求积系数,例子如下所示:
2.4 Gauss型求积公式的余项
Gauss型求积公式的 余项 E n ( f ) E_n(f) En(f) 如下所示:
证明过程如下:
2.5 Gauss型求积公式的稳定性与收敛性
Gauss型求积公式稳定性定理如下:
Gauss型求积公式收敛性定理如下:
2.6 Gauss-Legendre求积公式
可以看到前面的Gauss型求积公式是不限制权函数的,如果权函数为1,且积分区间为 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1],那么得到的即为Gauss-Legendre求积公式:
其求积余项为:
2.7 Gauss-Chebyshev求积公式
如果Gauss型求积公式的权函数为 1 1 − x 2 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} 1−x21,且积分区间为 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1],那么得到的即为Gauss-Chebyshev求积公式,定义如下:
参考文献:
关治,陆金甫《数值方法》
今天的文章利用gauss求积公式计算积分_求gauss分布函数的频谱函数[通俗易懂]分享到此就结束了,感谢您的阅读。
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