利用gauss求积公式计算积分_求gauss分布函数的频谱函数[通俗易懂]

利用gauss求积公式计算积分_求gauss分布函数的频谱函数[通俗易懂]Gauss型求积公式1.引言2.Gauss型求积公式2.1Gauss型求积公式的定义2.2Gauss点的性质2.3构造Gauss型求积公式2.4Gauss型求积公式的余项2.5Gauss型求积公

1. 引言

在前一章《数值分析(9):数值积分之Newton-Cotes求积公式和复合求积公式》中,提出使用等分区间的方式来给出插值节点,从而得到lagrange插值多项式,最后得到Newton-Cotes求积公式。

从Newton-Cotes求积公式的余项中可以知道,它的代数精度有以下规律:

在这里插入图片描述

可以看到: Newton-Cotes求积公式是等距节点,n+1个节点,代数精度至少是n次。

那么同样的节点数,不采用等距分布,代数精度能否提高?
答案是肯定的,我们来看下面这个例子:

在这里插入图片描述
根据《数值分析(8):数值积分之Lagrange法》可知,代数精度与待定系数的数量相关,待定系数数量为 n n n,那么代数精度至少为 n − 1 n-1 n1

对于Newton-Cotes求积公式,因为要求区间等分,所以 x 0 x_0 x0 x 1 x_1 x1都已经被确定了,待定的系数只有 A 0 A_0 A0 A 1 A_1 A1,因此代数精度至少为1。

而如果不等分区间,那么 x 0 x_0 x0 x 1 x_1 x1也是待定系数,就有4个待定系数,代数精度至少为3.

为了尽可能地提升代数精度,就诞生了Gauss型求积公式,它的区间不一定时等分的。

2. Gauss型求积公式

如前所述,Gauss型求积公式就是尽可能地提升代数精度,如果将区间分为 n n n份,那么就有 2 n + 2 2n+2 2n+2个未知数,代数精度至少为 2 n + 1 2n+1 2n+1
在这里插入图片描述

那么此时的代数精度还可能会提高吗?因为理论上说是至少为 2 n + 1 2n+1 2n+1次代数精度,但是是不是可能出现 2 n + 2 2n+2 2n+2次代数精度的情况呢?答案是,最高也就是 2 n + 1 2n+1 2n+1,不可能出现 2 n + 2 2n+2 2n+2次代数精度的情况,证明如下:
在这里插入图片描述

2.1 Gauss型求积公式的定义

形如(4.1)具有最高代数精度(2n+1)次的求积公式
Gauss型求积公式,相应的求积节点叫Gauss点

在这里插入图片描述

2.2 Gauss点的性质

关于Gauss点判定的充分必要条件为:

在这里插入图片描述
证明过程如下:

在这里插入图片描述

通过以上定理可以很容易得到下面这个定理,因为Gauss型求积公式的代数精度就是 2 n + 1 2n+1 2n+1次,即:
在这里插入图片描述

此定理证明过程如下:
在这里插入图片描述

2.3 构造Gauss型求积公式

可以看到Gauss型求积公式虽然精度高,但是待定系数太多,不方便求解,常用的求解方法有以下两个:

方法一:待定系数法。如例1
在这里插入图片描述

方法二:用定理4.2,先求求积节点,即用正交多项式的零点做Gauss点,再求求积系数,例子如下所示:
在这里插入图片描述

2.4 Gauss型求积公式的余项

Gauss型求积公式的 余项 E n ( f ) E_n(f) En(f) 如下所示:
在这里插入图片描述

证明过程如下:
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

2.5 Gauss型求积公式的稳定性与收敛性

Gauss型求积公式稳定性定理如下:
在这里插入图片描述
Gauss型求积公式收敛性定理如下:

在这里插入图片描述

2.6 Gauss-Legendre求积公式

可以看到前面的Gauss型求积公式是不限制权函数的,如果权函数为1,且积分区间为 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [1,1],那么得到的即为Gauss-Legendre求积公式
在这里插入图片描述

其求积余项为:
在这里插入图片描述

2.7 Gauss-Chebyshev求积公式

如果Gauss型求积公式的权函数为 1 1 − x 2 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} 1x2
1
,且积分区间为 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [1,1],那么得到的即为Gauss-Chebyshev求积公式,定义如下:
在这里插入图片描述

参考文献:

关治,陆金甫《数值方法》

今天的文章利用gauss求积公式计算积分_求gauss分布函数的频谱函数[通俗易懂]分享到此就结束了,感谢您的阅读。

版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至 举报,一经查实,本站将立刻删除。
如需转载请保留出处:https://bianchenghao.cn/86506.html

(0)
编程小号编程小号

相关推荐

发表回复

您的电子邮箱地址不会被公开。 必填项已用 * 标注