已知三点求平面方程 点法式_法向量求二面角公式

最近学图形学时遇到了这个问题，PPT 给的大概是一个通过线性代数的方法求的，有点看不懂。加上线性代数早就忘光了，更加是一脸茫然。但是这个知识点在高中讲过，自己却怎么也记不起来了，直到今天突然记起来了，特此记录一下。

问题描述

已知三维空间中三点 $P_1(x_1,y_1,y_1)，P_2(x_2,y_2,y_2)，P_3(x_3,y_3,y_3)$。要求求出这三个点构成平面的法向量。

高中知识

我们不妨设平面法向量 $\overrightarrow{n}=(x,y,z)$。

我们知道法向量是和平面垂直的，因此法向量也和该平面上任意一条向量相互垂直，即点积为 0。

利用这个性质，我们可以构造两个方程，此时
$$\begin{gathered} \overrightarrow{n}・\overrightarrow{P_1{P}_2}=0 \\ \overrightarrow{n}・\overrightarrow{P_1{P}_3}=0 \end{gathered}$$
将 $P_1{P}_2{P}_3$ 三点坐标代入即可。
$$\begin{gathered} x(x_1-x_2)+y(y_1-y_2)+z(z_1-z_2)=0 \\ x(x_1-x_3)+y(y_1-y_3)+z(z_1-z_3)=0 \end{gathered}$$
然后我们不妨假设 x=1, 这样即可求出 y z（三个方程三个未知量）。

p.s 这样求出的法向量可能会有分数，可以自行改造一下。

大学知识

在高等数学「向量代数与空间解析几何」这一章中，介绍了向量叉积的概念。其中叉积的几何表示如下：

a×b 是一种向量
方向： a×b 同时垂直于 a 和 b 且符合右手定则

我们注意到 a×b 同时垂直与 a 与 b，而这和法向量的性质刚好一致。因此我们就可以利用 $\overrightarrow{P_1{P}_2}$ 与 $\overrightarrow{P_1{P}_3}$ 的叉积来构造平面法向量。因此我们不妨假设

$$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{P_1{P}_2}\times \overrightarrow{P_1{P}_3}$$

$\overrightarrow{n}=(a,b,c)$ 有一个更简单的记法

我们不妨设 $\overrightarrow{P_1{P}_2}=(x1,y1,z1)$、$\overrightarrow{P_1{P}_3}=(x2,y2,z2)$，a、b、c 三者的值对应这下面三个椭圆的行列式。即

$$\begin{gathered} a=y1z2-y2z1 \\ b=z1x2-z2x1 \\ c=x1y2-x2y1 \end{gathered}$$

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