柯西公式是什么_柯西积分公式和柯西古萨定理[通俗易懂]

我们利用柯西积分定理 (复周线形式)导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式.

定理 3.11

设区域 $D$ 的边界是周线 (或复周线) $C$, 函数 $f(z)$ 在 $D$内解析, 在 $\bar{D}=$ $D+C$ 上连续,则有

$$f(z)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_c\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta (z\in D).(3.16)$$

这就是柯西积分公式. 它是解析函数的积分表达式,因而是今后我们研究解析函数各种局部性质的重要工具.

证
任意固定 $z\in D,F(\zeta )=\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}$ 作为 $\zeta$的函数在 $D$ 内除点 $z$ 外均解析. 今以点 $z$ 为圆心, 充分小的$\rho >0$为半径作圆周 ${\gamma }_p$, 使 ${\gamma }_{\rho }$ 及其内部均含于 $D$ (图3.12). 对于复周线 \Gamma=C+\gamma_{\rho}^{-}$及函数 $F(\zeta )$, 应用定理 3.10 的(3.13), 得

$${\int }_c\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta ={\int }_{{\gamma }_p}\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta$$

(这一步的重要性, 在于将复杂路径 $C$ 代以简单路径 ${\gamma }_{\rho }$ ).

上式表示右端与 ${\gamma }_{\rho }$ 的半径 $\rho$ 无关, 因此我们只需证明

$$\underset{\rho \to 0}{\lim }{\int }_{{\gamma }_{\rho }}\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta =2\pi \mathrm{i}f(z),(3.17)$$

则柯西积分公式 (3.16) 就算证明了.

注意到 $f(z)$ 与积分变量 $\zeta$ 无关, 而$2\pi \mathrm{i}={\int }_{x_p}\frac{\mathrm{d}\zeta }{\zeta -z}$(见例3.2), 于是有

$$\begin{array}{r}|{\int }_{{\gamma }_{\rho }}\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}\mathrm{d}\zeta -2\pi \mathrm{i}f(\end{array}$$

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