d大于r是相离还是相切_圆与圆相切的公式

最近托哥的高三崽子们复习到了《直线与圆的位置关系》，有些童鞋对相切的理解有点混乱。因此，我专门写了这篇文章简单说明一下。

两个问题

1. 两曲线相切一定只有一个交点吗？
2. 两曲线只有一个交点一定相切吗？

回答这两个问题之前，我们先看3个栗子~

要判断上面哪些图的曲线是相切的？我们需要先达成一个共识，即理解什么是相切。

相切的定义

在高中阶段，教材对于相切并没有严格的定义，唯一涉及到定义的内容是导数的几何意义，主要强调了极限的思想，且只对可导函数适用，对于一般曲线并没有规定。

对相切进行定义其实属于高等数学的内容，《高等数学》同济第六版是这样定义的：

设有曲线

及

上的一点

，在点

外另取一点

，作割线

。当点

沿曲线

趋近于

时，如果割线

绕点

旋转而趋于极限位置

，直线

称为曲线

在点

处的切线。这里极限位置的含义是只要弦长

趋近于0，

也趋近于0。

这里有一个默认的前提，就是“在欧氏空间中”~

从上面的定义我们明白，相切是局部的几何概念，是曲线在某点处割线的极限，当曲线的割线与曲线的两个交点无限接近时，这条割线的极限情况就是切线。可以说相切是相交的特殊情况，更特殊的情况是直线与曲线可以相切于两个点、三个点甚至无数个点，只要它满足上面的定义，即它是这些点处的割线的极限。

我们应该意识到，直线与曲线在某点相切时，只是局部性质，不能由此判断直线跟整个曲线的公共点个数。甚至我们可以理解成直线与曲线局部相切与整体相交是可以同时发生的，相切是针对切点及其领域的性质而言的，而交点个数是对整条直线与曲线而言。因此，从集合的角度看，交点所涉及的范围是大于相切涉及的范围，即相切一定有交点，有交点不一定相切。

直线与曲线相切的结论

有了这些共识，我们可以得到以下结论：

• 直线与曲线相切，一定至少有一个切点（如下图有无数个切点），也可能还有其它交点（如图②）；

• 直线与曲线只有一个交点不一定相切，因为这个交点不一定是切点，这条直线未必是曲线在该点处割线的极限（如图③）。

貌似文章开头的问题解决了，其实不然，上述概念只是定义了直线与曲线相切的情况，而我们的问题是两曲线相切与交点的关系，比如圆与抛物线相切、圆与椭圆相切等，直线只是其中一种特殊的曲线。

两曲线相切的结论

此时，我们需要一点转化和化归的思想，两曲线相切的本质其实是在切点处有相同的切线。因此，我们又回到了直线与曲线相切的情况，显然，就有了下面的结论：

• 两曲线相切不一定只有一个交点，切点个数等于它们在交点处的相同切线的数量，若交点处没有相同切线则不是切点，如下图；

• 两曲线只有一个交点不一定相切，因为在这个交点处未必有相同的切线，如下图。

到此，我们可以回答文章开头的问题了，即相切未必只有一个交点，只有一个交点也未必相切。我们不妨多积累几个图例，准确掌握常见曲线的几何特征，理解相切时的交点个数也是不难的哦。

推广与想象

我们再充分发挥一下想象力，直线有切线吗（答案是有的(^_^)）？由线及面，如果是线与面相切，那是什么情况？又比如面与面相切，又该如何理解和定义？我想这些问题不如交给大家去思考和探索，不亦乐乎！

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