1.最大公约数(最大公因数)就是几个数公有的因数中最大的一个。
例:12与18 12的因数有1,12,2,6,3,4
18的因数有1,18,2,9,6,3
公有的因数有1,2,3,6, 所以6就是12与18的最大公约数.
而求最大公约数的方法可以总结为:
1)更相减损法:更相减损术, 出自于中国古代的《九章算术》,也是一种求最大公约数的算法。
①先判断两个数的大小,如果两数相等,则这个数本身就 是就是它的最大公约数。
②如果不相等,则用大数减去小数,然后用这个较小数与它们相减的结果相比较,如果相等,则这个差就是它们的最大公约数,而如果不相等,则继续执行②操作。
解法分析(更相减损法):
例如: 有两个数 12 18,它们的最大公约数为6
12 = 6 * a—————–12肯定是它最大公约数的倍数
18 = 6 * b—————–18也肯定是它最大公约数的倍数
18 – 12 = 6 *(b – a)——由结果可看出它们的差值肯定也是最大公约数的倍数
12 – 6 = 6 ————-直到减数和差值相同时,则这个相同的数就是它们的最大公约数。(其原理就是用两个数相等时,它本身就是最大公约数,因为,除去第一次相减,其余的每次减法都是用减数和差值相减,当然了,这仅仅是个人的看法,感觉这样可以好理解一点)
第一种方法(用更相减损法求最大公约数):
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
int Max_Com_Divisor(int x, int y)//用更相减损法求最大公约数
{
while (1)//用大数减去小数并将结果保存起来
{
if (x > y)
{
x -= y;
}
else if(x < y)
{
y -= x;
}
else//如果两个数相等时,则这个数就是最大公约数
{
return x;
}
}
}
int main()
{
int a = 0;
int b = 0;
int com_div = 0;
printf("please Enter <a,b>:");
scanf("%d %d",&a,&b);
com_div = Max_Com_Divisor(a,b);
printf("max = %d",com_div);
system("pause");
return 0;
}
结果如下
:
第二种方法(用辗转相除法求最大公约数):
辗转相除法, 又名欧几里得算法(Euclidean algorithm),目的是求出两个正整数的最大公约数。它是已知最古老的算法, 其可追溯至公元前300年前。
这条算法基于一个定理:两个正整数a和b(a>b),它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。比如10和25,25除以10商2余5,那么10和25的最大公约数,等同于10和5的最大公约数。
2)辗转相除法解法分析:
①当两个数相等时,其中任意一个就是它们的最大公约数,因为它们的余数为0;
②当两个数不相等时,用较大数除以较小数,当余数不为0时,这时
使较小数作为被除数,余数作为除数,继续 ②的操作,直至余数为0,也就是这两个数相等时,其中任一数为最大公约数。依然是上面的例子:18和12的最大公约数6
18 = 6 * a
12 = 6 * b
18/12—–商为1—–余数为6 = 6 *1—-可以看出余数也是最大公约数的倍数
12/6——-商为2—–余数为0———–所以得到6为最大公约数
通用分析:
首先,我们先计算出a除以b的余数c,把问题转化成求出b和c的最大公约数;然后计算出b除以c的余数d,把问题转化成求出c和d的最大公约数;再然后计算出c除以d的余数e,把问题转化成求出d和e的最大公约数……
以此类推,逐渐把两个较大整数之间的运算简化成两个较小整数之间的运算,直到两个数可以整除,或者其中一个数减小到1为止。
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
int Max_Com_Divisor(int x, int y)//用辗转相除法求最大公约数
{
while (x * y)//当其中一个为0时,终止循环
{
if (x > y)//将较大数模较小数的结果(余数)赋给较大的值,直到两个数相等
{
x %= y;
}
else if(x < y)
{
y %= x;
}
}
return x > y ? x : y;
}
int main()
{
int a = 0;
int b = 0;
int max_com_div = 0;
int min_com_mult = 0;
printf("please Enter <a,b>:");
scanf("%d %d",&a,&b);
max_com_div = Max_Com_Divisor(a,b);
min_com_mult = (a * b)/max_com_div;//min_com_mult为最小公倍数
printf("max_com_divisor = %d min_com_mult = %d",\
max_com_div,min_com_mult);
system("pause");
return 0;
}
第三种方法:使用递归(结合辗转相除法和更相减损法的优势以及移位运算)
众所周知,移位运算的性能非常快。对于给定的正整数a和b,不难得到如下的结论。其中gcb(a,b)的意思是求a,b的最大公约数的函数
当a和b均为偶数,gcb(a,b) = 2*gcb(a/2, b/2) = 2*gcb(a>>1, b>>1)
当a为偶数,b为奇数,gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)
当a为奇数,b为偶数,gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)
当a和b均为奇数,利用更相减损术运算一次,gcb(a,b) = gcb(b, a-b), 此时a-b的结果必然是偶数,又可以继续进行移位运算。
比如计算10和25的最大公约数的步骤如下:
(10,25)———(10>>1,25 )————-( 5,25)
(5,25 )———-(5,25-5 )————(5,20)
(利用更相减损法)
(5,20)———-(5,20>>1 )———– (5,10)
(5, 10)———-(5,10>>1 )———– (5,5)
(5,5)———–(5,5-5)———(5,0)——-5为最大公约数
(利用更相减损法)
在两数比较小的时候,暂时看不出计算次数的优势,当两数越大,计算次数的节省就越明显。
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int gcd(int data1,int data2)
{
if (data1 == data2)
{
return data1;
}
if (data1 < data2)//为了保证较大的数始终在前面,减少了代码
{
gcd(data2,data1);
}
else
{
//与1操作是为了判断奇偶
if (!(data1 & 1) && !(data2 & 1))//两数都是偶数
{
return gcd(data1>>1,data2>>1)<<1;
}
else if(!(data1 & 1) && (data2 & 1))//data1为偶数,data2为奇数
{
return gcd(data1>>1,data2);
}
else if((data1 & 1) && !(data2 & 1))//data1为奇数,data2为偶数
{
return gcd(data1,data2>>1);
}
else//当两个数都为奇数时,应用更相减损法
{
return gcd(data2,data1 - data2);
}
}
}
int main()
{
int data1 = 0;
int data2 = 0;
int ret = 0;
printf("Please Enter:<data1,data2>");
scanf("%d %d",&data1,&data2);
ret = gcd(data1,data2);
printf("ret : %d \n",ret);
system("pause");
return 0;
}
2.最小公倍数就是几个数公有的倍数中最小的一个。
6的倍数有6,12,18,24,……
4和6 公倍数 12,18……, 所以4和6的最小公倍数是12 。
如果求a和b的最小公倍数,可以先求出它们的最大公约数,最小公倍数就是 a*b/最大公约数
由于查的好多资料上面在求最大公约数时几乎没有算法的分析,只有该怎样求的方法,但是却没有深入讲解这个问题,所以为了能够深入了解算法是怎样来的,故整理了如上的解析,如果你还有更好的想法或理解,欢迎分享探讨。
今天的文章浅析求两个数的最大公约数的三种算法是什么_最大公因数什么意思分享到此就结束了,感谢您的阅读。
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