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著名数学家龚升的论述揭示高中“函数近代严格定义”

有非常明显错误

                                  黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303  邮编510631）

     [摘要]指出：变数y与x之间的函数（对应）关系f与该关系中的函数y是两根本不同概念即y=f(x)中的对应法则（关系）f≠函数y=f(x)，y与f有种种非常明显的区别；“函数概念是中学生感到最难学的数学概念之一”的原因不是学生们的学力太低而是教材与教学有非常明显的概念性错误：指鹿为马地将对应法则（对应关系）f说成是f中的函数y，从而将学而思的学生搞糊涂了。恢复函数的本来面目：f中的对应变数y，就能使中学生感到函数概念是最简单易学的数学概念之一。

     [关键词]函数的近代严格定义；函数关系与该关系中的函数是两根本不同概念

交通法则f：“红灯停绿灯行”规定汽车的“行”与“停”与灯的颜色有对应（函数）关系。法则f是规定和约束汽车如何随灯的颜色的变化而行或停的一种规定。将汽车看成是质点y，其随着灯的颜色的变化而行或停，小学生都知y不是法则（规定）f本身而是f所约束其运动状态的车。对应关系（法则f）所约束的对象与法则本身是两根本不同概念。规定谁与谁有怎样的对应关系的规定以及该对应关系本身，与“谁”是两根本不同概念。小学生都懂“对应”的含义。运算法则f：i×i=-1中的法则f≠i和-1也≠运算过程。由除法的运算法则f：…，可算出5÷3=1.666…；小学生都知法则f≠3和5也≠运算过程。

著名数学家龚升教授指出：“所谓函数关系，就是两个变量之间的一种对应规律，依据它，可以从一个变量x…确定出另一个变量y…。这种关系一般地常用y=f（x）表示，即y是x的函数，符号f表示对应规律，…，y称为因变量[1]。”

当所说集合是数集时所谓“x的函数y”就是自变数x的对应变数y，所谓“y与x有函数关系”就是“y与x有对应关系”，即：函数=对应变数，函数关系=对应关系。极显然：对应变数y=f（x）≠对应关系（法则）f，y是构成关系f的两个变数x、y中的y。只会背书者不知道函数关系与函数虽只有两字之差，却表示两根本不同概念；将两者混淆是概念性错误。x与y=x+1有大小关系f：x+1>x；但f中的x+1≠f，“x+1=f”是常识性错误。初中生都懂一种关系f和该关系中的数是两根本不同概念。张三和李四有上下级关系f：张三是排长，李四是班长；但张三和李四都不是此关系本身而是此关系f中的人。一种关系和构成此关系的成员、要素是两根本不同概念。A与B的元x与y有一一对应关系：x↔y=f（x）(若“A各元x有对应y=f（x）”则记为：x→y=f（x）)，但y≠此关系本身，而是此关系中B的变元。

集A一元x按变换法则f变为y=f（x）而另一元x+△x按≠f的变换法则g变为y=g（x+△x）；这是不同的元按不同的变换法则进行变换的变换。对应法则f：f(x)=y=2x是说括号内的变数x只能与2倍于己的数对应，这f并不随x变为x+△x而变为≠f的g，即若括号内的变数是x+△x时，其也只能与2倍于己的数2（x+△x）相对应。可见对应法则f不是随x的变化而变化的变数。变换法则g：g（x）=y=5x。y=f(x)=2x=2（x=1时）中的y=2是数，而f就不是数而是一种规定：f(x=1)=2x=2即规定x=1只能与二倍于己的数相对应，亦即规定y与x=1的函数（对应）关系只能是y=2x=2。

同一个数学表达式y=f(x)=2x既可表示（规定x只能与2倍于己的数y对应的）对应法则f以及表示y与x有怎样的函数（对应）关系，也可表示y=2x是随x的变化而变化的变数。对表达式所表达的内容不能只有一知半解的肤浅认识。

“D各元x只能与10x对应”这一对应法则（关系）h可用数学表达式表为：对应关系（法则）h：y=h(x)=10x，x∈D。法则h中的对应变数10x才是x的函数。可见可将“对应法则”说成“对应关系”，正如可将“对应法则”说成“变换法则”一样。映射y=h(x)=10x（即映射h：D→R）表示D各元x都有元10x∈R与之对应，但这一映射h本身不是函数（=对应变数）y。

对应（函数）关系y=f(x)=2x规定y与x的对应关系是y二倍于x，这一对应关系（函数关系）不随x变为x+△x而改变。鲜明对比的是函数y=f(x)是随x的变化而变化的变数：函数y=f(x)=2x(△y=2△x)随x变为x+△x≠x而变为y+△y=y+2△x≠y=2x即f(x+△x)≠f(x)。可见函数与函数关系（即对应关系）是两根本不同概念。变数y=f(x)是x的函数，而规定y如何随x的变化而变化的固定法则f不是x的函数。变数y=f(x)=2x→0有极限0而法则f不是随x的变化而变化的变数从而没有极限0；由大到小取值的变数y=2x→0可变到≈0而法则f不可变到≈0，因其与0没距离关系。谁见过有“由大到小取值的对应法则、函数关系f”？函数y=f(x)也可表为y=y(x)——表示y是x的函数，但y(x)中的y不是对应法则而是x的函数。对应法则f′：f′(2x)=y=2(2x)与法则f是相同的法则——都规定括号内的数只能与2倍于己的数对应。不少书本有“函数有两要素：定义域与对应法则”——仅从此语就可一眼看出对应法则f是确定一函数关系y=f(x)从而确定一函数y=f(x)的要素而非此函数y本身，正如定义域是确定一函数的要素而非此函数本身一样。若“对应法则f=函数y”成立则对应法则相同的函数就是同一函数，那么课本中的“定义域与对应法则都相同的函数才是同一函数”就不成立。

法官若将两根本不同概念混淆就会将无罪人判为有罪人，将有罪人判为无罪人。同样，育人的课本将两根本不同概念混淆就会将学而思的学生搞糊涂，因学生们做梦都不敢怀疑教科书有指鹿为马的概念性错误。有数学家说: 搞错概念,脑子会变成一团浆糊。“以严格、严密为生命”的数学出现将两根本不同概念误为同一概念的错误是要命的错误。函数关系是自变量与因变量之间的互为对应关系。变数x与对应变数-x有互为相反数的对应（函数）关系，但x的函数-x不是此函数关系本身而是构成该关系中的x的对应变数。

一函数2x（x>0且>>1或<<1）有相比下距0很远（或很近）的关系，而一对应法则（函数关系）或一种映射就与0没这种关系，因其与0没距离关系。当x>0且<<1时函数y=F(x)=x2≈0而对应法则F并不≈0，因F是规定x只能与x倍于己的数对应的一种规定从而与0没距离关系。有的函数≈0，有的函数不≈0，鲜明对比的是谁见过有“此对应法则（函数关系）或映射f距0很远而彼对应法则（函数关系）或映射g距0很近”？函数2x与各实数r有距离关系，而确定一函数关系的对应法则及“映射”与各r是没距离关系的。函数y可有增量（y的变化量）和变化率而对应法则及“映射”是没有增量和变化率的，因其不是变数。函数y(x)是变数而必有变域和可取正、负数，而对应法则f不是变数当然也就没变域（变域是数集）更不可取什么数。显然x与y可分别是x轴、y轴上有运动方向的动点的坐标，而规定x与y之间有怎样的对应关系的对应法则f不是数轴上动点的坐标x与y，更谈不上有正负号的问题。各函数与0都可比较大小而有>0及<0的函数，变数之间可有大小关系，例x>0的函数2x>x，…。有>0及<0的对应法则吗？对应法则之间可有大小关系吗？谁见过有“法则f>法则g”？函数4x两倍于函数2x，2x≠0是4x的1/2；谁见过有“法则a两倍于法则b, 法则b是法则a的1/2”？函数y=g（x）→7可无穷逼近7而与7有距离关系。而函数关系（对应关系）、对应法则就不可逼近哪个数，因其与数之间没距离关系。数与数之间才能有距离关系。函数y即实变数y与任何固定实数c有距离关系和大小关系，而对应法则、函数关系与c没距离关系没大小关系。有许多函数有极值，而各对应法则（关系）、映射都无极值。不少函数有最大（小）值，例函数y=6x≥2有最小值，而各对应法则（关系）、映射都无最值，因其不是变数或常数。对应变数即函数y固定一下就是固定数∈R，而对应法则（关系）即函数关系、映射能是变数从而可固定一下∈R吗？若函数y=函数z则y-z=0，但“若对应规则f=g则f-g=0”是错误的，因“两函数相等”与“两函数关系（对应关系、法则）相等”是两根本不同概念。概念性错误是根本性错误。

以上说明对应法则f与f中的函数y=f(x)有一系列非常明显的区别。然而中外许多课本竟大同小异地有将函数和函数（对应）关系f混为一谈，以及将函数即变数的变化过程与函数本身混为一谈的说法。例不少书本有说法b：“函数是从自变量的输入值产生出输出值的一种法则或过程。”（申大维等译《数学的原理与实践》，高教出版社、德国施普林格出版社，1998）。又例高中课本有函数定义d：A与B是非空数集，若有一确定的对应关系（法则）f使对A任何元x，B中总有唯一的一个元y（x）与它对应，这对应关系（映射）f叫做从A到B的一个函数，记为函数f：A→B，…。后来的课本将“记为函数f：A→B”改为“记为y=f(x)”。为何作此改动？这是很耐人寻味的。“函数关系f：A→B（即规定A 各数x有对应y=f(x)∈B）”正确，而“函数f：A→B（即规定A……）”是将函数关系f中的函数y说成是f。[2]书6页（因可将“对应法则”说成“对应关系”故定义d与此页的定义是等价的）：“定义1.2：设x，y是两个变量，D为一个非空的实数集，如果存在一个对应规则f，使得对于每一个x∈D都能由f唯一地确定一个实数y，则称对应规则f为定义在D上的一个函数，记为y=f(x)，…”。其实变数y才是函数而规定变数y如何变的法则f不是函数。 [2]书6页：“按照对应规则f：x→kx+b，y=kx+b为一线性函数。”即说对应规则f（规定x只能与kx+b对应）中的变数y=kx+b才是函数。同一本书的同一页内一会说f是函数，一会又说f中的变数y才是函数。这是典型的思想混乱，原因是定义1.2有连“偷换概念”也远远谈不上的概念性错误：指鹿为马地将对应法则（对应关系）f说成是由f所确定的函数y。将定义1.2中的“则称对应规则f为定义在D上的一个函数”改为“则称对应变数y=f(x)为…”就消除此思想混乱了。[2]书7页有说法a：“给出了一个函数就是同时给出了它的对应规则和定义域”，极显然“它”即函数的对应规则≠它本身，正如它的定义域≠它一样。若“对应规则=函数”成立则说法a =“给出了一个函数就是同时给出了它的函数和定义域”或=“给出了一个对应规则就是同时给出了它的对应规则和定义域”；显然“函数的函数”与“函数的对应规则”是两根本不同概念，请问：给出了对应规则f：x→kx+b，那么此规则f的对应规则是什么？广大师生多年不察定义1.2和上述说法b是赤裸裸错误，就如童话故事中大人们不察光身皇帝光身那样。教（学）而不思是师生的大敌。

对应法则f确定了函数（对应）关系f：x→y=f(x)。姚孟臣教授：“…，那么这个关系f就叫做从X到R的函数关系，简称为函数，…[3]”。“大”与“犬”是两根本不同概念，若“可将犬简写为大”成立则“你爸爸是大官”=“你爸爸是犬官”。纠正此极其荒唐错误是“小题大做”吗？！“函数=函数关系”是非常低级错误；一种关系和构成此关系的成员、要素是两根本不同概念。 [3]书32页有说法c：“一个函数主要是由函数关系和其定义域X所确定”，若“可将函数关系简称为函数”成立则教授的说法c=“一个函数主要是由函数和其定义域X所确定”；其实只有定义域X而没函数关系即对应关系（法则）是不能确定一函数的。函数关系即对应关系中的函数与关系本身是有非常明显的区别的。

函数定义有“对应变数”说、“对应关系（法则）”说、“映射”说、“变化过程”说；由上可见“对应变数”说才是正确的（当所说集是数集时），其它的说法都是非常明显的“一叶”错误。“一叶知秋”。

课本将函数关系与关系中的函数动点两者混为一谈,就使本来极其简单易懂的函数概念变得“函数概念是中学生感到最难学的数学概念之一[4]”（网上章建跃《函数概念的学与教》）。函数可形象化为动点就能使学生对函数概念一看就懂。备注：本文已在“预印本”上公布。

     参考文献

[1]龚升、张声雷。简明微积分（一）[M]，北京：人民教育出版社，1978：4.

[2]刘晓斌、向子贵主编。经济数学基础（一）2版[M]，汕头：汕头大学出版社，2002。

[3]姚孟臣。大学文科基础数学（一）[M]，北京：北京大学出版社，1990.3：31。 [4]www.pep.com.cn/gzsx/jszx_1/jxyj/llysj/201008/t20100826_763919.htm

[5]黄小宁。不等式、集合、几何起码常识凸显课本一系列重大错误——让2300年都无人能识的直线段一下子暴露出来[J]，数学学习与研究，2016（5）:151。

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