高数微分方程公式大全_高数无穷大的定义「建议收藏」

高数微分方程公式大全_高数无穷大的定义「建议收藏」一、常见等价无穷小当x→0x\rightarrow0x→0时,sin⁡x∼x\sinx\simxsinx∼xtan⁡x∼x\tanx\simxtanx∼xarcsin⁡x∼x\arcsinx\s

高数微分方程公式大全_高数无穷大的定义「建议收藏」

一、常见等价无穷小

x → 0 x\rightarrow0 x0 时,

sin ⁡ x ∼ x \sin x \sim x sinxx

tan ⁡ x ∼ x \tan x\sim x tanxx

arcsin ⁡ x ∼ x \arcsin x \sim x arcsinxx

arctan ⁡ x ∼ x \arctan x \sim x arctanxx

e x − 1 ∼ x e^x-1 \sim x ex1x, a x − 1 ∼ x ln ⁡ a a^x-1 \sim x \ln a ax1xlna

ln ⁡ ( 1 + x ) ∼ x \ln (1+x) \sim x ln(1+x)x,   l o g a ( 1 + x ) ∼ x ln ⁡ a \displaystyle\ log_{a}(1+x) \sim \frac{x}{\ln a}  loga(1+x)lnax

ln ⁡ ( x + 1 + x 2 ) ∼ x \displaystyle \ln(x+\sqrt{1+x^2}) \sim x ln(x+1+x2
)
x

( 1 + x ) α − 1 ∼ α x \displaystyle (1+x)^\alpha -1 \sim \alpha x (1+x)α1αx

1 − cos ⁡ x ∼ 1 2 x 2 \displaystyle \displaystyle 1 – \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 1cosx21x2

tan ⁡ x − x ∼ 1 3 x 3 \displaystyle \tan x-x \sim \frac{1}{3}x^3 tanxx31x3

x − sin ⁡ x ∼ 1 6 x 3 \displaystyle x-\sin x \sim \frac{1}{6}x^3 xsinx61x3

tan ⁡ x − sin ⁡ x ∼ 1 2 x 3 \displaystyle \tan x – \sin x \sim \frac{1}{2}x^3 tanxsinx21x3

arcsin ⁡ x − x ∼ 1 6 x 3 \displaystyle \arcsin x – x \sim \frac{1}{6}x^3 arcsinxx61x3

x − arctan ⁡ x ∼ 1 3 x 3 \displaystyle x – \arctan x \sim \frac{1}{3}x^3 xarctanx31x3

x → ∞ x \rightarrow \infin x 时,

lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e \large \displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow \infin}(1+ \frac{1}{x})^x=e xlim(1+x1)x=e括号内的一项趋向 0

二、导数 / 微分

  1. 利用导数的定义

    lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\dfrac{f(x+\Delta x) – f(x)}{\Delta x} Δx0limΔxf(x+Δx)f(x)

    lim ⁡ x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \lim\limits_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} xx0limxx0f(x)f(x0)

  2. 常见函数的导数

函数 导数
sin ⁡ x \sin x sinx d ( sin ⁡ x ) d x = cos ⁡ x \displaystyle \cfrac{\text{d}(\sin x)}{\text{d}x}=\cos x dxd(sinx)=cosx
cos ⁡ x \cos x cosx d ( cos ⁡ x ) d x = − sin ⁡ x \dfrac{\text{d}(\cos x)}{\text{d}x}=-\sin x dxd(cosx)=sinx
tan ⁡ x \tan x tanx d ( tan ⁡ x ) d x = sec ⁡ 2 x \dfrac{\text{d}(\tan x)}{\text{d}x}=\sec^2x dxd(tanx)=sec2x
cot ⁡ x \cot x cotx d ( cot ⁡ x ) d x = − csc ⁡ 2 x \dfrac{\text{d}(\cot x)}{\text{d}x}=-\csc^2 x dxd(cotx)=csc2x
sec ⁡ x \sec x secx d ( sec ⁡ x ) d x = sec ⁡ x tan ⁡ x \dfrac{\text{d}(\sec x)}{\text{d}x}=\sec x\tan x dxd(secx)=secxtanx
csc ⁡ x \csc x cscx d ( csc ⁡ x ) d x = − csc ⁡ x cot ⁡ x \dfrac{\text{d}(\csc x)}{\text{d}x}=-\csc x \cot x dxd(cscx)=cscxcotx
arcsin ⁡ x \arcsin x arcsinx d ( arcsin ⁡ x ) d x = 1 1 − x 2 \displaystyle \frac{\text{d}(\arcsin x)}{\text{d}x} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dxd(arcsinx)=1x2
1
arccos ⁡ x \arccos x arccosx d ( arccos ⁡ x ) d x = − 1 1 − x 2 \displaystyle \dfrac{\text{d}(\arccos x)}{\text{d}x}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} dxd(arccosx)=1x2
1
arctan ⁡ x \arctan x arctanx d ( arctan ⁡ x ) d x = 1 1 + x 2 \dfrac{\text{d}(\arctan x)}{\text{d}x} = \dfrac{1}{1+x^2} dxd(arctanx)=1+x21
arccot  x \text{arccot}\space x arccot x d ( arccot  x ) d x = − 1 1 + x 2 \dfrac{\text{d}(\text{arccot}\space x)}{\text{d}x} = – \dfrac{1}{1+x^2} dxd(arccot x)=1+x21
  1. 双曲函数 和 反双曲函数

    函数名 表达式
    双曲正弦 sh ⁡ x \operatorname{sh}x shx sh ⁡ x = e x − e − x 2 \operatorname{sh} x = \dfrac{e^x-e^{-x}}{2} shx=2exex
    双曲余弦 ch ⁡ x \operatorname{ch}x chx ch ⁡ x = e x + e − x 2 \operatorname{ch} x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2} chx=2ex+ex
    双曲正切 th ⁡ x \operatorname{th}x thx th ⁡ x = sh ⁡ x ch ⁡ x = e x − e − x e x + e − x \operatorname{th} x = \dfrac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} thx=chxshx=ex+exexex
    反双曲正弦 arcsh ⁡ x \operatorname{arcsh}x arcshx arcsh ⁡ x = ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) \displaystyle \operatorname{arcsh}x = \ln(x+\sqrt{x^2+1}) arcshx=ln(x+x2+1
    )
    1 反双曲余弦 arcch ⁡ x \operatorname{arcch}x arcchx arcch ⁡ x = ln ⁡ ( x + x 2 − 1 ) \operatorname{arcch}x=\ln(x+\sqrt{x^2-1}) arcchx=ln(x+x21
    )
    反双曲正切 arcth ⁡ x \operatorname{arcth}x arcthx arcth ⁡ x = 1 2 ln ⁡ 1 + x 1 − x \displaystyle \operatorname{arcth}x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x} arcthx=21ln1x1+x

三、微分方程

  1. 可分离变量的微分方程 [ 形如 : d y d x = f ( x ) ] [\mathbf{形如}: \displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=f(x)] [形如dxdy=f(x)]

    ① 分离变量后,两端积分。

    [② 根据定解条件确定常数]

  2. 齐次方程 [ 形如 : d y d x = φ ( y x ) ] [\mathbf{形如}:\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=φ(\frac{y}{x})] [形如dxdy=φ(xy)]

    x 、 y x、y xy 次数的系数是否对称。

    ① 令 u = y x u = \dfrac{y}{x} u=xy, 则 y = u x y = ux y=ux d y d x = u + x d u d x \displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = u + x\frac{\text{d}u}{\text{d}x} dxdy=u+xdxdu

    ② 代入方程,分离变量 x x x 和 $u $后,两端积分。

    ③ 用 y x \dfrac{y}{x} xy代替 u u u

    [④ 根据定解条件确定常数]

  3. 一阶线性微分方程 [ 形如: d y d x + P ( x ) ⋅ y = Q ( x ) ] [\mathbf{形如:} \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)\cdot y=Q(x)] [形如:dxdy+P(x)y=Q(x)]

    (1) 当 Q ( x ) = 0 Q(x)=0 Q(x)=0 时,方程为『齐次』。 (对应于 非齐次线性方程 的齐次线性方程

    ​ 齐次线性方程的通解: y = C e − ∫ P ( x ) d x \displaystyle y = Ce^{-\int P(x)\text{d}x} y=CeP(x)dx

    (2) 当 Q ( x ) ≢ 0 Q(x)\not\equiv0 Q(x)0 时,方程为『非齐次』。 (非齐次线性方程

    ​ 非齐次线性方程的通解: y = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ Q ( x ) ⋅ e ∫ P ( x ) d x d x + C ) \displaystyle y = e^{-\int P(x)\text{d}x}(\int Q(x)\cdot e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x+C) y=eP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdx+C)

    ​ 展开式: y = C e − ∫ P ( x ) d x + e − ∫ P ( x ) d x ∫ Q ( x ) ⋅ e ∫ P ( x ) d x d x \displaystyle y = Ce^{-\int P(x)\text{d}x} + e^{-\int P(x)\text{d}x}\int Q(x) \cdot e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x y=CeP(x)dx+eP(x)dxQ(x)eP(x)dxdx

  4. 伯努利方程 [ 形如 : d y d x + P ( x ) ⋅ y = Q ( x ) ⋅ y n ,   ( n ≠ 0 , 1 ) ] [\mathbf{形如}:\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)\cdot y= Q(x)\cdot y^n,\space(n\not=0,1)] [形如dxdy+P(x)y=Q(x)yn, (n=0,1)]

    ① 两端同除以 y n y^n yn

    ② 设 z = y 1 − n z = y^{1-n} z=y1n,则 d z d x = ( 1 − n ) y − n d y d x \displaystyle \frac{\text{d}z}{\text{d}x}=(1-n)y^{-n}\frac{\text{d}y}{\text{d}x} dxdz=(1n)yndxdy

    ​ 代入,得 1 1 − n ⋅ d z d x + P ( x ) z = Q ( x ) \dfrac{1}{1-n}\cdot \dfrac{\text{d}z}{\text{d}x} + P(x)z=Q(x) 1n1dxdz+P(x)z=Q(x)

    d z d x + ( 1 − n ) P ( x ) z = ( 1 − n ) Q ( x ) \dfrac{\text{d}z}{\text{d}x}+(1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) dxdz+(1n)P(x)z=(1n)Q(x)

    ③先求 z z z,再求 y y y

  5. 可降阶的高阶微分方程

    (1) [ 形如 : y ( n ) = f ( x ) ] [\mathbf{形如}:y^{(n)}=f(x)] [形如y(n)=f(x)]

    ​ 两端积分,得 y ( n − 1 ) = ∫ f ( x ) d x + C 1 \displaystyle y^{(n-1)}=\int f(x)\text{d}x+C_1 y(n1)=f(x)dx+C1

    ​ 一直积分到 得到通解 时。

    (2) [ 形如 : y ′ ′ = f ( x , y ′ ) ] [\mathbf{形如}:y”= f(x,y’)] [形如y′′=f(x,y)]没有 y

    ​ 设 p = y ′ p = y’ p=y,则 y ′ ′ = p ′ y”=p’ y′′=p

    ​ 代入,得到 p ′ p’ p 关于 p p p x x x 的方程 p ′ = f ( x , p ) p’=f(x,p) p=f(x,p)

    (3) [ 形如 : y ′ ′ = f ( y , y ′ ) ] [\mathbf{形如}:y”=f(y,y’)] [形如y′′=f(y,y)]没有 x

    ​ 设 p = y ′ p = y’ p=y,则 y ′ ′ = d p d x = d p   ⋅  d y d x   ⋅  d y = p d p d y \displaystyle y” = \frac{\text{d}p}{\text{d}x}=\frac{\text{d}p\space \cdot \space \text{d}y}{\text{d}x\space \cdot \space \text{d}y}=p\frac{\text{d}p}{\text{d}y} y′′=dxdp=dx  dydp  dy=pdydp

    ​ 代入,得到 p d p d y = f ( y , p ) p\dfrac{\text{d}p}{\text{d}y} = f(y,p) pdydp=f(y,p)

    ​ 分离变量求解,之后把 p = y ′ p = y’ p=y 代入,

    ​ [根据已知条件求出常数之一,继续分离变量求解。根据已知,求出第二个常数]

线性相关 与 线性无关
  • 定义:对于定义在区间 I I I 上的 n 个函数,如果下式成立则线性相关,否则无关。

k 1 y 1 + k 2 y 2 + ⋯ + k n y n ≡ 0 , ( ∀ x ∈ I )   ( k 1 , k 2 , ⋯   , k n 不全为  0 ) k_1 y_1+k_2 y_2 + \cdots + k_n y_n \equiv 0, (\forall x \in I )\space(k_1,k_2,\cdots,k_n不全为\space0) k1y1+k2y2++knyn0,(xI) (k1,k2,,kn不全为 0)

二阶微分方程:判断方程是否为线性的方法

​ 若 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) y_1(x),y_2(x) y1(x),y2(x) 线性无关 ⇔ \Leftrightarrow y 1 ( x ) y 2 ( x ) ≢ \dfrac{y_1(x)}{y_2(x)} \not\equiv y2(x)y1(x) 常数。

  1. 高阶线性微分方程
  • 二阶

    [ 形如: d 2 y d x 2 + P ( x ) d y d x + Q ( x ) y = f ( x ) ] (6-1) \displaystyle [\mathbf{形如:} \frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + P(x)\frac{\text{d}y}{\text{d}x} +Q(x)y=f(x)]\tag{6-1} [形如:dx2d2y+P(x)dxdy+Q(x)y=f(x)](6-1)

    齐次 f ( x ) ≡ 0 f(x) \equiv 0 f(x)0,设 ( 6 − 2 ) (6-2) (62) ( 6 − 1 ) (6-1) (61) 对应的齐次方程。

    • 性质:齐次方程的任意两个解相加(或乘 C C C )的结果仍是该齐次方程的解。
    • 定理 1 :如果函数 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x) y 2 ( x ) y_2(x) y2(x) 是方程 ( 6 − 2 ) (6-2) (62) 的两个解,那么 函数 y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x) y=C1y1(x)+C2y2(x),也是方程 ( 6 − 2 ) (6-2) (62) 的解。
      • 注意:函数 y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x) y=C1y1(x)+C2y2(x) 不一定是方程 ( 6 − 2 ) (6-2) (62) 的通解。
    • 定理 2 :如果 函数 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x) y 2 ( x ) y_2(x) y2(x)线性无关 的特解,则函数 y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x) y=C1y1(x)+C2y2(x) 方程 ( 6 − 2 ) (6-2) (62) 的通解

    非齐次 f ( x ) ≢ 0 f(x) \not\equiv 0 f(x)0

  • n 阶

    [ 形如: y ( n ) + a 1 ( x ) y ( n − 1 ) + ⋯ + a n − 1 ( x ) y ′ + a n y = f ( x ) ] (6-n-1) \displaystyle [\mathbf{形如:} y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots + a_{n-1}(x)y’+a_n y= f(x)]\tag{6-n-1} [形如:y(n)+a1(x)y(n1)++an1(x)y+any=f(x)](6-n-1)

    ① 齐次:

    如果 函数 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , ⋯   , y n ( x ) y_1(x),y_2(x),\cdots, y_n(x) y1(x),y2(x),,yn(x)线性无关 的特解,则函数方程 ( 6 − n − 1 ) (6-n-1) (6n1) 的通解为:

    y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + ⋯ + C n y n ( x ) y=C_1 y_1(x)+C_2 y_2(x)+\cdots+C_n y_n(x) y=C1y1(x)+C2y2(x)++Cnyn(x)

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