信号处理是什么专业_信号正交的概念[通俗易懂]

本文编辑：调皮哥的小助理
本文来源：Quadrature signals: complex,but not complicated,By Richard Lyons.全文有删改和补充

1.概述

基于复数的概念的正交信号，以及与正交信号相关的许多如j-operator（算符、算子）、complex（复数的）、imaginary（虚部的）、real（实部的），以及orthogonal（正交的）等专业术语，可能会比其他的课程习题更能令数字信号处理专业的初学者们感到头疼。

如果你有点不确定复数和j=sqrt(-1)（-1开平方根）算子的实际物理意义，没关系，请你不要感到悲伤。因为，甚至是世界最伟大的数学家之一的Karl Gauss（高斯），也曾把j-operator叫做“影子中的影子”。今天在这篇文章当中，我们会剖析这个“影子中的影子”，那样，你就再不用打“正交信号心理热线”求助了。

正交信号处理被广泛用于科学和工程领域，并且用于描述现代数字通信系统中的处理方法和实现。在本文的指导教程中，我们会回顾复数的基础知识，并且理解复数是怎样用于表示正交信号的。接下来，我们会复习正交信号代数符号中负频率的概念，并且，学习使用正交处理的专业术语。另外，我们将用三维的时-频图来解释正交信号的一些实际物理意义。这本文指导教程的最后，简要介绍了怎样通过正交采样的手段生成正交信号。

提出问题：为什么要关心正交信号？

正交信号，也被叫做复信号，在很多数字信号处理应用中被使用，例如：

（1）数字通信系统
（2）雷达系统（重点）
（3）无线电测向系统中的到达时间差处理
（4）相参脉冲测量系统
（5）天线波束形成应用
（6）单边带调制器
（7）其他

上述这些应用都属于正交处理的一般范畴，并且通过实现正弦信号相位的相参测量来提供额外的处理能力。

一个正弦信号是一个二维的信号，这个二维信号在某时刻的瞬时值可以用一个有两个部分组成的复数来表示，这两个部分即我们所说的实部和虚部。

注：real和imaginary 两词很传统，在日常中的意思使它们在这里的使用显得有点不太合适。因此，通信工程师们会使用同相相位和正交相位两个术语，后边更多的使用这两个术语的地方。

下面让我们一起来回顾这些复数的数学表示。

2. 复数的发展和表示

为了建立复数的概念，这里定义一个我们在日常生活中使用的实数数字，如一个电压、一个华氏温度，或是你支票账户的结余。这些一维的数字既可以是正的，也可以是负的，见图1（a）。在图中我们展示了一个一维的数轴，并一个实数可以用数轴上的一点来表示。通常，我们把这个坐标轴叫做实轴。

在图1（b）中，复数C也被表示为一个点。但是，复数C并不止坐落在一条一维线上，而是位于一个二维平面中的任何地方。这个平面被叫做复数平面（简称复平面或复数域，一些数学家喜欢把它叫做阿尔干图），复平面给我们提供了一种表示既有实部又有虚部的复数的方法。

例如，在图1（b）中，复数C=2.5+j2 是一个位于复数平面中的既不在实轴也不在虚轴上的点。我们通过沿着实轴走+2.5个单位，再沿虚轴向上走+2个单位来定位点C。你可以把实轴和虚轴看作是地图上的东西方向和南北方向。

下面我们将用一个几何学的观点来帮助我们理解一些复数的计算。如下图2所示，我们用直角三角形的三角原理来说明几种不同的表示复数C的方法。

在一些文献资料中，复数C被许多的不同方式来表示，例如：

表中公式（3）和（4）表明复数C也可以被认为是复平面上一个相量的末端，幅度为M，方向为Φ度（相对于正实轴），如图2所示。记住，C是个复数，而变量a，b，M和Φ都是实数。

C的幅度，有时被称做C的模，即：

$\mathrm{M}=|\mathrm{c}|=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}$ （5）

注：模，在中国古代汉语中，表示模子，模型。《论衡·物势》：“埏埴作器，必模范为形”，有度量空间的含义。

相位角Φ，或者幅角，是虚部实部比的反正切值，表示为：

$\varphi ={\tan }^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$（6）

如果我们令公式（3）等于公式（2），Me^jΦ= M[cos(Φ)+jsin(Φ)]，得到欧拉恒等式之一，我们致敬欧拉并以他的名字命名公式，如下：

${\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\varphi }=\cos (\varphi )+\mathrm{j}\sin (\varphi )$ （7）

疑心的读者应该正在质问：“为什么采用那个用自然对数的底e的奇怪表达式来描述一个复数是有效的，这十分令人难以想象？”

我们可以像世界最伟大的无穷级数数学家欧拉那样证明公式（7），通过给图3的顶上那行里的e^z的级数展开表述中的z代入jΦ，这个代入展示在第二行。接下来，我们求j的高次值得到图中第三行的级数。你们中那些像欧拉那样高的数学技巧（或者那些查过一些数学参考书）的人会在第三行里认出那些交替的项就是cosine和sine函数的级数展开表达式。

图3证明了公式（7）和我们用公式（3）极坐标形式（Me^jΦ）对复数的表述。图3的第一行中，如果你用-jΦ来替换z，最终你会得到一个稍有不同的，并且很有用的欧拉公式形式：

${\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\varphi }=\cos (\varphi )-\mathrm{j}\sin (\varphi )$ （8）

公式（7）和（8）的极坐标形式对我们有好处是因为：

（1）它简化了数学的推导和分析
把三角法的公式转换成简单的指数的代数，并且复数的数学运算得以遵照与实数同样的规则。
（2）它让信号的相加只是复数的相加（矢量相加）
（3）它是最简洁的表达方式
（4）它表明了数字通信系统是如何实现的，并且在文献中进行了描述

我们将用公式（7）和（8）来理解正交信号是为什么要在数字通信应用中被使用，并且是如何使用的。但首先，让我们深吸一口气，因为现在进入了j算子的模糊区域。

之前，你已经看到了j=sqrt（-1）的定义，通俗地讲，我们说j是代表一个乘以自己等于-1的数，这个定义会给初学者造成困惑，因为我们都知道任何数的平方总是到一个正数。

遗憾的是，数字信号处理课本经常定义j，然后，学生们带着看似合理的轻率，并迅速的熟悉了与j算子用于分析正弦信号的各种方法。

但是读者们很快忘了那个问题：j=sqrt（-1）到底意味着什么？

其实，sqrt（-1）曾经在数学领域出现过一段时间，但那个时候并没有被大家认真对待。直到16世纪的时候，它不得不被用于解决三次方程（cubic equation），数学家们才开始并有些不情愿地接受sqrt（-1）的抽象概念，但并不没有将其形象化，因为它的数学特性与一般实数的计算是一致的。

后来，数学家欧拉把复数和真实的正弦及余弦联系起来，然后高斯巧妙地引入了复数平面，最终在18世纪，使sqrt（-1）的概念有了合法的地位。

超越了实数领域的欧拉，证明了了复数和我们熟知的正弦和余弦实三角函数有着极为巧合的关系，如同爱因斯坦提出的质和量的等价关系一样。

不过，欧拉虽然证明了实正余弦函数与复数的等价，但人们对于这个等价关系的理解如同现代的物理学家们不知道什么是电子，但能理解它的特性一样。（这句话非常有哲理，体现了目前我们人类对于物质认识的程度仅限于只知道现象，而并不知道其本质！）

因为我们人类对某些物理现象还没有一个合理的解释，因此我们不用担心j是什么，而只需要理解它们的作用就够了。对于我们来说，j算子表示把一个复数逆时针旋转90度。让我们来看为什么这样。

如图4所示，通过测试j=sqrt（-1）算子的数学特性，我们将习惯用复数的复平面表示。

如图4所示，j乘以任何一个实轴上的数会得到一个位于虚轴上的虚的产物。图4中的例子中，+8被用位于正实轴上的一个点表示，+8乘以j得到一个虚数，+j8，与+8相比，在复平面中的位置被逆时针旋转了90度，位于正虚轴。类似的，因为j^2=-1，+j8乘以j将引起另一个90度旋转，得到了位于负实轴上的-8。-8乘以j引起进一步的90度旋转得到位于负虚轴上的-j8。不论何时一个用点表示的任意数字乘以j，结果都是90度的逆时针旋转。（相反的，乘以-j，就引起复平面上的90度顺时针旋转。）

如果我们令公式7中的Φ=π/2，我们得到：

$\begin{array}{rl}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\pi /2}& =\cos (\pi /2)+\mathrm{j}\sin (\pi /2)=0+\mathrm{j}1,\text{ or }\\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\pi /2}& =\mathrm{j}\end{array}$ （9）

不过，这里有一点要记住，在复平面上的一个用点表示的复数，乘以j或者e^(jπ/2)会引起逆时针90度旋转而得到一个新的复数。别忘了这个，因为它会在你开始阅读正交处理系统文献的时候有用。

让我们暂停一会儿，来歇一口气，缓缓脑子，消化一下之前的内容。

如果虚数和复平面的概念看起来有点难以理解，别担心，任何人刚开始都是这个样子。你越多用它们，你会越习惯它们。记住，j算子是曾使欧洲的重量级数学家们迷惑了数百年的东西，必须承认，刚开始的时候，不仅是复数的数学有点奇怪，其专业术语也十分古怪。

虽然“虚数的”这个词对我们来不是很习惯，但“复数”这个词确实是十分的怪异。在第一次见到时，复数这个词语让我们联想到复杂的数字，但复数的概念并不都那么复杂。要明白，上面的冗长讲述只是用来证明公式（2）、（3）、（7）和（8）的。现在，终于可以让我们来讲讲时域信号了。

3 .用复相量表示实信号

现在，我们把注意力放在是时间函数的复数上。

假设一个信号，它的幅度是1，而且它的相位角随时间增大。这个复数就是图5（a）上的那个点e^(j2πf0t)，这里，2πf0是以弧度/秒为单位的频率w，并且它与以赫兹（即周/秒）为单位的频率f0是相同的。

随着时间t增大，这个复数的相位角也会增大，并且绕复平面的原点按逆时针方向做圆周运动。图5（a）上，该复数用蓝色实心点表示，在某一任意瞬时时刻静止。如果f0=2Hz，那么，那个蓝色实心点会按照每秒两圈的频率绕圈。我们也可以考虑一下另一个复数e-j2πf0t （蓝色虚心点表示），它将随时间的增长，顺时针绕圈。

现在，让我们把e^{(j2πf0t)和e}(-j2πf0t)两个复数表达式称作正交信号。它们各自都拥有实部和虚部，并且都是时间的函数。在文献中，这两个表达式经常被称作复指数（complex exponentials）。

我们也可以把这两个正交信号，e^{(j2πf0t)和e}(-j2πf0t)，当作是图5（b）中两个按相反方向旋转的矢量的末端。目前，我们将继续使用这个相量表示，因为它可以在复平面的背景中描述实正弦信号。

为了确保我们能够理解这些相量的作用，图6（a）显示了相量e^{(j2πf0t)随时间变化的三维轨迹。我们加入了时间轴来显示该相量的螺旋形轨迹。图6（b）显示了仅有相量e}(j2πf0t)的末梢的连续形式。

复数e^{(j2πf0t)，可以叫做相量的末端，以时间轴为中心，沿着螺旋形轨迹向由里及外延伸。图6（b）中，e}(j2πf0t)的实部和虚部就是正弦和余弦投影。（重点内容！读者要记住！）

回到图5（b）中，问你自己：这两个沿反方向旋转的相量的矢量和是什么？

考虑一会儿…，对了，相量的实部会总是同向相加，而虚部总是会抵消。这就意味着相量e^{(j2πf0t)和e}(-j2πf0t)相加总是会得到一个实数，现代数字通信系统的实现就是基于这一特性。（重点内容！读者要记住！）

为了强调这两个复正弦曲线的实数和的重要性，我们再画另一幅图，如图7中所示的三维波形，它由e^{(j2πf0t)和e}(-j2πf0t)这两个以时间轴为中心沿相反方向旋转伸展的半幅度复相量相加得到。

思考下这些相量，现在很明确，为什么余弦曲线可以等价于两个复指数的和，是怎么得到的。

$\cos \left(2\pi f_{0}t\right)=\frac{e^{j2\pi f_{0}t}+e^{-j2\pi f_{0}t}}{2}=\frac{e^{j2\pi f_{0}t}}{2}+\frac{e^{-j2\pi f_{0}t}}{2}$ （10）

公式（10），一个著名的重要表达式，也被叫做欧拉等式之一。我们可以通过对公式（7）和（8）求解jsin(Φ)来得到这个等式，使这两个表达式相等，从最终等式中求出cos(Φ)。类似的，我们可以把同样的代数练习做完并且得到，一个实正弦波形也是两个复指数的和，如下：

$\sin \left(2\pi {\mathrm{f}}_{0}t\right)=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi f_{0}t}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi {\mathrm{f}}_{0}t}}{2\mathrm{j}}=\frac{\mathrm{j}{\mathrm{j}}^{-\mathrm{j}2\pi {\mathrm{f}}_{0}t}}{2}-\frac{j{\mathrm{j}}^{\mathrm{j}2\pi {\mathrm{f}}_{0}t}}{2}$ （11）

仔细看公式（10）和（11），它们是余弦波形和正弦波形的标准表达式，使用复数形式表示，在正交通信系统的文献中很常见。

为了避免读者的思维像那些复相量一样旋转，请明确，公式（5）到（7）的目的只是用以证明公式（10）和（11）中得到的余弦和正弦波形的复数表达式。这两个公式，连同公式（7）和（8），是正交信号处理的罗塞达石(Rosetta Stone，是解释古埃及象形文字的可靠线索)。

（正交信号处理的罗塞达石）

我们现在可以轻松地在真实正弦曲线和复指数之间来回转换。同样，我们正在学习如何通过同轴电缆传输真实信号或将其数字化并存储在计算机的内存中，可以用复数符号来表示。是的，复数的组成部分都是实数，但我们将这些部分以特殊的方式处理，即我们正在正交地处理它们。

4.频域的正交信号表示

关于正交信号的时域特性，现在我们已经知道得足够多了，那么我们准备好了去接受它们的频域描述。

因为我们将阐明其频域的全部三维特性，正交信号的任何一个相位关系都不会被隐藏，所以这部分的文章会很容易理解，图8告诉了我们频域中复指数的表达规则。

我们将把一个复指数表示成一个由幂指数上的频率f确定的窄带脉冲。另外，我们将沿实轴和虚轴说明这些复指数之间的相位关系。为了阐述这些相位关系，一个复频率域(复频域)表示是必须的，如图9所示。

在图9的右边，可以看到实余弦波形和正弦波形是如何在复频率域表示中被描述的。那些粗箭头不是旋转着的相量，而是表示复指数e^(j2πf0t)的单根谱线在频域的脉冲信号。谱脉冲的方向指向仅指示频谱组成的相对相位，这些谱脉冲的幅度是1/2。

为什么我们会跟这个三维坐标的频域表示纠缠这么久？

因为这是我们将用以理解数字（及一些模拟）通信系统中正交信号的生成（调制）和检测（解调）的工具，这也是本文的目标中的两个。在我们考虑这些处理之前，让我们用个小例子来证明这个频域表达。

如图10，是个说明我们如何使用复频率域的简单例子。这里我们从一个正弦波开始，将j算子代入，然后把结果与同频的实余弦波形相加。最终，在公式（7）中的欧拉等式被图形化阐释，得到复指数e^(j2πf0t)。

在频率轴上，负频率的概念在这儿被看做位于频率轴-2πf0弧度/秒处的谱脉冲。

这幅图说明了重要的结论：当我们使用复数概念，像e^{(j2πf0t)和e}(-j2πf0t)这样的复指数是实正弦曲线sin（2πft）和cos（2πft）的基本构成部分，这是因为sin（2πft）和cos（2πft）都由e^{(j2πf0t)和e}(-j2πf0t)作为部分构成。

如果你对正弦波sin（2πf0t）、余弦波cos（2πf0t）或者e^(j2πf0t)的复正弦波形的离散时域采样值进行离散傅里叶变换（DFT），并且把复数结果作图，你就能得到图10中的窄带脉冲。

如果你理解了图10中的概念和操作，拍拍你的背鼓励你自己，因为对于正交信号的特性和计算，你已经知道了很多。

5.频域带通正交信号

按照惯例，在正交处理中，频谱的实部被叫做同相分量，虚部被叫做正交分量。图11（a），（b），（c）中的信号的复数谱是实数的，且在时域中，它们能够被表示为有非零实部和零值虚部的数。在时域，信号是实数的，我们并不一定要使用复数形式去表示它们。

实数的信号总是有正的和负的频谱分量，任何一个实数的信号，其同相频谱的正和负的频率分量总是以零频点为中心对称，即同相分量的正和负的频率分量互为镜像。

反过来说，正交分量频谱的正的和负的频率部分总是相反。这意味着任何正交正频率分量的相位角与对应的正交负频率分量是相反的，如图11（a）中的细实线箭头所示。当频谱被用复数形式表示时，这种成对的对称是实数信号不变的特性。

让我们再次提醒自己，图11（a）和（b）中的那些粗箭头不是旋转着的相量，而是表示复指数e^(j2πf0t)的单根谱线的频域脉冲符号，谱脉冲的方向指向仅指示频谱分量的相对相位。

在我们继续之前，这儿有个重要准则必须要记住。如图12（a）和（b）所示，一个时域信号乘以复指数e^(j2πf0t)，该信号的频谱将被向上搬移f0Hz，这个过程我们叫做正交混频（quadrature mixing）（也叫做复调制complex mixing）。同样，一个时域信号乘以e^(-j2πf0t)，将把信号频谱向下搬移f0Hz。

下面是一个正交采样的例子，我们可以通过探索正交采样的处理来使用我们之前学习到的关于正交信号的所有知识。

正交采样是一个数字化一个连续（模拟）带通信号并且将其频谱搬移至0Hz（零中频）的过程。让我们通过设计一个以fcHz的载波频率为中心，带宽为B的连续带通信号，来看这个过程是如何工作的。

在正交采样中，我们的目标是得到该模拟带通信号的数字量化值，并且这个数字化信号的离散频谱以0Hz为中心，而非fcHz。那么，我们通过将这个时域信号乘以e^(-j2πfct)来实现复数的向下转换。频率fs是数字转换器(ADC)的采样速率，单位为samples/second。

在图13的最下行中的重复的频谱只是来提醒我们当A/D转换发生时的效果，即在时域采样等同于在频域进行以为周期的延拓。

图14顶部的结构图，就是称作I/Q解调（有通信理论经验的人称为“Weaver demodulation）的正交采样的框图。安装的相位相差90度的两个正弦波振荡器通常被称作正交振荡器。

复杂的图14中的e^{(j2πf0t)和e}(-j2πf0t)提醒我们，包括一个实数余弦的组成的复指数，复制了Xbp(f）频谱的每个部分来产生Xi（f）。上面这幅图说明了我们如何得到我们所需的复正交信号的滤波后的连续同相部分。本质上，Xi(f）和I(f）频谱都被当做实数处理。（噪声电平会叠加）

同样的，图15告诉我们如何通过将Xbp(t）和sin(2πfct）来得到复正交信号滤波后的连续正交相位部分。

这里我们继续：I(f）-jQ(f）就是我们原先的带通信号Xbp(t）的复制品的频谱,图16说明了两个频谱的相加。

这个典型的正交采样的描述看起来令人迷惑不解，直到你用一个三维的观点看待这个情况，如图17所示。其中，-j算子将仅虚部的Q(f）旋转了-90度，使其变成仅实数的。然后，I(f）和-jQ(f）相加。

图18底部的复数频谱就是我们需要的：中心频率为0Hz的复数带通信号的数字化形式。（相参噪声电平不会增加）

正交采样方式的一些优点：

（1）每个A/D转换器的工作采样率是标准实信号采样速率的一半。
（2）硬件工作在较低的时钟速率下可以节省能源。
（3）对于指定的采样率，我们能捕捉更大带宽的模拟信号。
（4）得益于更宽的频率范围覆盖，正交序列可以使FFT处理更加有效。
（5）由于正交序列通过两个通道被有效的过采样了，这使信号的平方运算在不需要upsampling（上采样）的情况下成为可能。
（6）确定信号的相位便于相参处理，并且正交采样也让解调过程中信号的瞬时幅度和相位测量变得简单。

回到框图，别忘了正交信号的一个重要特性。我们能够将模拟正交信号进行远距离传输。我们使用两根分别传输实数i(t）和q(t）的同轴电缆来实现这个。（为了实现离散时域正交序列的传输，我们需要两根多导体带状电缆（multi-conductor ribbon cables），见图19。）

接下来我们链接同轴电缆，将电缆链接到发电机的输出连接器并运行这两条电缆，为余弦信号标记i(t)，正弦信号标记q(t)，沿着大厅到达目的地。

现在，进行两个问题测试试验。在另一个实验室，我们会在屏幕上看到示波器显示什么，如果连续信号i(t)和q(t)链接到水平和垂直输入通道。（记住，设置示波器水平扫描控制到“外部”位置）。

两个问题测试: 这个测验很简单，只有两个问题，是由学校心理学家杰克·菲南做的。不同的反应组合构成了不同的结果。该理论的基本原理是，玩家不需要通过许多问题来发现自己是哪所学院，而是通过两个问题来揭示自己的道德。所以根据你选择的答案组合，为你选择一所学院。

接下来，如果电缆贴错标签并且两个信号被无意交换了又怎么样呢？

第一个问题的答案是：我们会看到一个亮点逆时针旋转，示波器显示屏幕上的圆，如果交换电缆，则会看到另一个圆圈，但这次是顺时针旋转。如果我们设置好信号发生器的频率为1Hz，这将是一个简洁的演示（读者可自行实验）。

这个示波器实验帮我们回答了一个更重要的问题：当我们使用正交信号，j算子是如何在硬件中实现的?

答案是：j算子是通过我们如何处理这两个信号之间的相对关系来实现的，我们必须让他们的同相i(t)信号代表一个东西方的值，并且正交相位q(t)信号表示正交南北方的值。

因此，在我们的演示实验示波器中，j算子仅通过链接方式来实现，同相i(t)信号控制水平偏转，正交q(t)信号控制垂直偏转，结果是一个由示波器显示屏上圆点恶瞬时值表示的二维正交信号。

为了充分理解我们这里的讨论的实际意义，让我们记住，一个连续的正交信号Xc(t）=i(t)+jq(t）不仅仅是个数学抽象。我们可以在我们的实验室里生成Xc(t）并把它传到走廊头上的实验室。走廊那头的实验室接收信号的人说，离散序列i(n）和q(n）可以通过加或减jq(n)来控制最终复数频谱的方向，见图21.

图21的上部的路径等同于把原始的Xbp(t）乘以e^{(-j2πf0t)，而底部的路径等同于将Xbp(t）乘以e}(j2πf0t)。因此，使图14顶部的正交振荡器的正交分量变负，-sin(2πfct），合成的复数频谱会像图21中所示的那样以0Hz为中心产生翻转。

当我们在考虑翻转着的复数频谱的时候，让我们提醒自己，有两个简单方法来使x(n）=i(n）+jq(n）的序列的频谱幅度产生翻转，如图21所示。

第一种方法是，我们可以通过使用共轭来得到频谱幅度翻转的序列X’((n)=i（n）-jq（n）。
第二个方法就是交换X(n）序列的子列i(n）和q(n）的采样值来生成一个新的序列y(n）=q(n）+ji(n），这个新序列的频谱幅度与X(n）的频谱幅度是相反的。
（注意，当X(n）和y(n）的频谱幅度相等时，它们的频谱相位不相等。）

结论

我们的正交信号辅导教程到此结束。我们了解了使用复数平面来形象化复数的数学描述，这让我们明白了正交信号和实数信号是如何联系起来的。我们明白了在三维频域描述如何帮助我们理解正交信号的生成、频率转换、合并和分离。最终，我们回顾了一个正交采样的例子和两种用来翻转正交序列频谱的方案。

参考文献

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