关于“采样参考点方法”的阅读整理——自用
文献名称《Sampling Reference Points on the Pareto Fronts of Benchmark Multi-Objective Optimization Problems》
方法一：Das and Dennis’s Method
Das and Dennis’s Method是单位单纯形上均匀分布参考点采样最常用的系统方法，其在单位形状上定义的参考点形式如下： S j ∈ { 0 H , 1 H , ⋯ , H H } , ∑ j = 1 M S j = 1 {S_j} \in \left\{ {\frac{0}{H},\frac{1}{H}, \cdots ,\frac{H}{H}} \right\},\sum\limits_{j = 1}^M {
{S_j} = 1} Sj∈{
H0,H1,⋯,HH},j=1∑MSj=1其中， H H H是目标的切分数量。
上图 H H H为5，目标函数M为3的参考点坐标计算实例。在这里，我需要强调一下为什么取a，b而不是abcd四个，以及其他参数的取值原因。
首先，说明图中0.2是因为在单位中将目标划分为5部分，所以每一小部分的取值为0.2；其次，若目标函数M为4的话，则将五部分均匀分配给M，其划分方式为1，1，1，2，则上图就变成了 S 1 , a , S 2 , b , S 3 , c , S 4 S_1,a,S_2,b,S_3,c,S_4 S1,a,S2,b,S3,c,S4，这里需要仔细推敲。然后最左边一列 x 1 x_1 x1其取值是有规律的，首先需要明白的是参考点的数量计算方式是 H = { M + P − 1 P } = C M + P − 1 P H = \left\{ \begin{array}{l} M + P – 1\\ P \end{array} \right\} = C_{M + P – 1}^P H={
M+P−1P}=CM+P−1P共计21个参考点，即所有X（M-1维）的组合方式=6+5+4+3+2+1（高中排列组合没学好的童鞋自己补补），所以对应6个0，5个0.2，4个0.4以此类推。
令 S 1 = a − 0 , S 2 = b − a , S 3 = 1 − b S_1=a-0,S_2=b-a,S_3=1-b S1=a−0,S2=b−a,S3=1−b，这样 S 1 + S 2 + S 3 S_1+S_2+S_3 S1+S2+S3就满足了算法要求的 ∑ j = 1 M S j = 1 \sum\limits_{j = 1}^M {
{S_j} = 1} j=1∑MSj=1，所以在M，P取其他值时，计算方式一样，只需要保持 ∑ j = 1 M S j = 1 \sum\limits_{j = 1}^M {
{S_j} = 1} j=1∑MSj=1即可。Das and Dennis‘s Method的过程步骤如下：
1） 设X是所有 { 0 H , 1 H , ⋯ H + M − 2 H } \left\{ {\frac{0}{H},\frac{1}{H}, \cdots \frac{
{H + M – 2}}{H}} \right\} {
H0,H1,⋯HH+M−2}的（M-1）组合
2） x i j ∈ X , x i j = x i j − j − 1 H {x_{ij}} \in X,{x_{ij}} = {x_{ij}} – \frac{
{j – 1}}{H} xij∈X,xij=xij−Hj−1，这里这个公式很迷，我看了半天才理解明白。举个栗子，上图中 a = x 1 − 1 − 1 5 , b = x 2 − 2 − 1 5 a = {x_1} – \frac{
{1 – 1}}{5},b = {x_2} – \frac{
{2 – 1}}{5} a=x1−51−1,b=x2−52−1
3） { s i j = x i j − 0 , j = 1 s i j = x i j − x i ( j − 1 ) , 1 < j < M s i j = 1 − x i ( j − 1 ) , j = M \left\{ \begin{array}{l} {s_{ij}} = {x_{ij}} – 0,\quad \quad j = 1\\ {s_{ij}} = {x_{ij}} – {x_{i(j – 1)}},\,\,1 < j < M\\ {s_{ij}} = 1 – {x_{i(j – 1)}},\quad j = M \end{array} \right. ⎩⎨⎧sij=xij−0,j=1sij=xij−xi(j−1),1<j<Msij=1−xi(j−1),j=M
方法二：Deb and Jain’s method
Deb and Jain’s Method这个采样方法其实是在Das and Dennis’s Method的基础上进行的改良，在文献中田野老师说当H<M的时候，没有中间点产生。因为，本人还没有去阅读Deb and Jain’s Method的文献，因此，对这个中间点的说法不是很理解、作者强调的是在此前况下，在das的基础上，增加内层的参考点，但是参考点的数量会翻倍，计算效率也会上升，博主在下周阅读结束Deb and Jain‘s Method后会将这部分补充完整（2021.09.23）。
Deb and Jain’s Method的过程步骤如下：
1）按照Das and Jain’s Method产生边界层的参考点
2）按照公式产生内层参考点
s i j ′ = 1 2 s i j + 1 2 M {s’_{ij}} = \frac{1}{2}{s_{ij}} + \frac{1}{
{2M}} sij′=21sij+2M1
在实践中，当m≤5时，采用Das and Dennis方法，其他情况采用Deb和Jain方法。
方法三：Mixture Uniform Design
上述两种采样方法的缺点是参考点的数量受参数M和h的限制。相比之下，混合均匀设计提供了更灵活的采样方法，其中参考点的数量可以是任意的数字。简而言之，它生成均匀分布在(M−1)维超立方体上的n个点，然后将其转换为M维单位单纯形。具体来说，混合均匀设计过程包括以下四个步骤:
1）设 W 1 W_1 W1是所有小于等于N的正整数且与N互为质数的行向量， W 2 = ( 1 , 2 , , . . . , N ) W_2=(1,2,,…,N) W2=(1,2,,...,N)
2）设 W = m o d ( W 2 T W 1 − 1 , N ) + 1 W=mod(W_2^TW_1-1,N)+1 W=mod(W2TW1−1,N)+1
3）设X是一个M-1列的矩阵， X = W ( : , 1 : M − 1 ) X=W(:,1:M-1) X=W(:,1:M−1)，通过计算中心- L 2 L_2 L2-偏差（ C D 2 CD_2 CD2）得到最大值的X的取值
4） { s i j = 1 N [ 1 − ( x i j ) 1 M − j ] ∏ k = 1 j − 1 ( x i k ) 1 M − k , 1 ≤ j < M s i j = 1 N ∏ k = 1 j − 1 ( x i k ) ( 1 M − k ) , j = M \left\{ \begin{array}{l} {s_{ij}} = \frac{1}{N}\left[ {1 – {
{\left( {
{x_{ij}}} \right)}^{\frac{1}{
{M – j}}}}} \right]\prod\limits_{k = 1}^{j – 1} {
{
{\left( {
{x_{ik}}} \right)}^{\frac{1}{
{M – k}}}}} ,1 \le j < M\\ {s_{ij}} = \frac{1}{N}\prod\limits_{k = 1}^{j – 1} {
{
{\left( {
{x_{ik}}} \right)}^{\left( {\frac{1}{
{M – k}}} \right)}}} \quad \quad \quad \quad \quad \quad ,j = M \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧sij=N1[1−(xij)M−j1]k=1∏j−1(xik)M−k1,1≤j<Msij=N1k=1∏j−1(xik)(M−k1),j=M
其中， C D 2 CD_2 CD2用来测量N个点填充超立方体的点集X的多样性，其公式为： C D 2 ( X ) = [ ( 13 12 ) M − 1 − 2 2 − M N ∑ i = 1 N ∏ j = 1 M − 1 ( 2 + ∣ x i j − 0.5 ∣ − ∣ x i j − 0.5 ∣ 2 ) + 1 N 2 ∑ i , k = 1 N ∏ j = 1 M − 1 ( 1 + 0.5 ∣ x i j − 0.5 ∣ + 0.5 ∣ x k j − 0.5 ∣ − 0.5 ∣ x i j − x k j ∣ ) ] 1 2 C{D_2}\left( X \right) = {\left[ {
{
{\left( {\frac{
{13}}{
{12}}} \right)}^{M – 1}} – \frac{
{
{2^{2 – M}}}}{N}\sum\nolimits_{i = 1}^N {\prod\nolimits_{j = 1}^{M – 1} {\left( {2 + \left| {
{x_{ij}} – 0.5} \right| – {
{\left| {
{x_{ij}} – 0.5} \right|}^2}} \right) + \frac{1}{
{
{N^2}}}\sum\nolimits_{i,k = 1}^N {\prod\nolimits_{j = 1}^{M – 1} {\left( {1 + 0.5\left| {
{x_{ij}} – 0.5} \right| + 0.5\left| {
{x_{kj}} – 0.5} \right| – 0.5\left| {
{x_{ij}} – {x_{kj}}} \right|} \right)} } } } } \right]^{\frac{1}{2}}} CD2(X)=[(1213)M−1−N22−M∑i=1N∏j=1M−1(2+∣xij−0.5∣−∣xij−0.5∣2)+N21∑i,k=1N∏j=1M−1(1+0.5∣xij−0.5∣+0.5∣xkj−0.5∣−0.5∣xij−xkj∣)]21
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