第一章命题逻辑（上）

1 什么是命题

命题是能够表达判断（对事物有肯定或否定的一种思维形式）的陈述句。

一个命题必须满足两个基本条件：

能明确判断真假。

是完整的陈述句。

1.1 命题的真值与表示方法

每个命题都具有一个“值”，称为真值。真值只有两种可能：真（True，记作T）或假（False，记作F）。因此，命题可以被分为真命题和假命题，分别对应其真值为T和F。

真命题：命题的含义为真，其真值为T。
假命题：命题的含义为假，其真值为F。

注意，真值是命题的一种固有属性，它决定了命题在逻辑上的有效性。

1.2 命题的类型

命题根据其结构特点可以分为两大类：

原子命题（简单命题）：无法进一步分解为更简单的陈述语句的命题。原子命题是逻辑分析的基本单位。
复合命题：由原子命题通过逻辑联结词和标点符号复合而成的命题。复合命题的真值取决于其组成原子命题的真值以及它们之间的逻辑关系。

所有命题，无论是原子命题还是复合命题，都应具有明确的真值表，以便进行逻辑推理和验证。

1.2.1 实例分析

为了更好地理解命题的概念和类型，我们来看几个实例：

(1) 中国人民是伟大的：这是一个原子命题，且为真命题（T）。

(2) 雪是黑的：同样是一个原子命题，但为假命题（F）。

(3) 1+101=110：这个命题的真值取决于所使用的数制。在二进制中为真（T），在十进制中为假（F）。注意，这种依赖于外部条件的命题在实际逻辑分析中需要特别注意其上下文。

(4) 别的星球上有生物：这是一个具有开放性的命题，目前无法直接判断其真假。但从逻辑的角度看，它仍然是一个命题，因为它表达了一个可以判断真假的陈述。

(5) 全体立正!：这是一个祈使句，不是命题。

(6) 我正在说谎：这是一个著名的悖论，因为它在自我指涉中产生了逻辑上的矛盾，因此不被视为一个有效的命题。

(7) 今天早上又刮风又下雨：复合命题。

1.2.2 命题表示法

为了方便讨论和分析，我们通常使用特定的符号来表示命题。这些符号被称为命题标识符。常见的命题标识符包括大写字母（如P、Q等）、带下标的大写字母或数字。例如：

P：表示“今天下雨”这一命题。
[12]：同样可以表示“今天下雨”这一命题，但使用了数字作为标识符。

命题常量：命题标识符代表某一确定的命题。

命题变：命题标识符代表任意一个命题。变的取值范围(T,F).

变的指派：当命题变被特定命题代入，成为具有确定真值的命题时，称对命题变的指派。

原子变：命题变代表原子命题时。

2 逻辑连接词

在逻辑学中，逻辑连接词用于将简单的命题（原子命题）组合成更复杂的复合命题。

2.1 五种逻辑连接词

(1) 否定(Negation) ¬

定义：¬p 表示命题 p 的否定，即 p 不成立。
逻辑关系：如果 p 为真（T），则 ¬p 为假（F）；反之，如果 p 为假（F），在经典逻辑中，¬p 仍然为假（F），因为假命题的否定并不转变为真（但在非经典逻辑体系中，如直觉主义逻辑，这一点可能有所不同）
日常用语：相当于“不…”，“非…”，“否…”等。

P	¬P
T	F
F	F

注意：否定作用于整个命题，而非命题中的个别成分.

例：

设P:所有的自然数是偶数。

其否命题¬P为：

并非所有的自然数是偶数（正确）

所有的自然数都不是偶数（错误）

(2) 合取(Conjunction) ∧

定义：P ∧ Q 表示命题 P 和 Q 的合取，即 P 和 Q 同时成立。
逻辑关系：仅当 P 和 Q 都为真（T）时，P ∧ Q 才为真（T）；否则，P ∧ Q 为假（F）。
日常用语：相当于“并且”，“以及”，“和”，“不仅...而且”等表达（注意：“虽然…但是”在逻辑上不完全等同于合取，因为它引入了转折关系）。

P	Q	P ∧ Q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

注意：合取关注的是命题之间的同时真实性，即两个或多个命题必须同时成立，而不是考虑这些命题在句子中的具体含义或它们之间的实际联系。

例：

设P: 我们去看电影，Q: 房间里有十张桌子

则P ∧ Q ：我们去看电影且房间里有十张桌子

(3) 析取(Disjunction)∨

定义：P ∨ Q 表示命题 P 和 Q 的析取，即 P 和 Q 中至少有一个成立。
逻辑关系：当且仅当 P 和 Q 都为假（F）时，P ∨ Q 为假（F）；否则，P ∨ Q 为真（T）。
日常用语：相当于“或”，“可兼或”等。注意这里的“或”是包含性的，即“P 或 Q”为真，只要 P、Q 中有一个为真，甚至两者都为真。

P	Q	P ∨ Q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

注意：联结词∨与汉语“或”的意义也不完全相同，因为汉语中“或”，可表示“排斥或”，也可以表示为“可兼或”。特别地，在某些语境下，汉语中的“或”可能带有模糊性，如表示“大约”或“可能”的意思，这并不构成逻辑上的析取关系。

例：

明天我学习离散数学或学习数据结构。

他做了20或30道题。（“或”表示“大约”的意思，不是连接词。只是原子命题）

(4) 条件（Implication） →

定义：P → Q 表示条件命题，读作“若 P 则 Q”，在这里，P 被称为前件（或前提），而 Q 被称为后件（或结论）。
逻辑关系：当且仅当 P 为真（T）且 Q 为假（F）时，P → Q 为假（F）；否则，P → Q 为真（T）。这种逻辑关系强调了“若 P 则 Q”的单向性，即 P 的真实性是 Q 真实性的充分条件，但不一定是必要条件。
日常用语：相当于“如果 …则”，“必须…以便”等。注意，这里的“如果…则”是单向的，意味着 P 的发生会导致 Q 的发生，但 Q 的发生并不直接说明 P 也一定发生了。

P	Q	P → Q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

(5) 双条件(Equivalence) ↔

定义：P ↔ Q 表示双条件命题，读作“P 当且仅当 Q”。
逻辑关系：当且仅当 P 和 Q 的真值相同时（即都为真或都为假），P ↔ Q 为真（T）；否则，P ↔ Q 为假（F）。
日常用语：相当于“当且仅当”，“充分必要”，“只有且仅有 …才能”等。双条件命题表示两个命题在逻辑上是等价的，即它们要么同时为真，要么同时为假。

P	Q	P ↔ Q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

基本连接词的真值表

P	Q	¬p	P ∧ Q	P ∨ Q	P → Q	P ↔ Q
T	T	F	T	T	T	T
T	F	F	F	T	F	F
F	T	T	F	T	T	F
F	F	T	F	F	T	T

注意：

复合命题的真值必须按照逻辑连接词的定义判定，不能按照自然连接词的语义去理解。

任意两个命题均可用逻辑连接词连接起来。

2.2 命题符号化与命题公式

通过原子命题、特定符号及连接词组合而成的表达式，我们称之为命题公式。这一过程称为命题符号化。

2.2.1 命题符号化

进行命题符号化时，我们需要遵循以下策略：

识别复合性：首先判断给定的命题是否为复合命题，这通常通过观察其是否包含多个主谓结构或逻辑连接词来实现。
分解原子命题：对于复合命题，识别并分离出其中的每一个原子命题，并为它们分配不同的符号表示。
确定逻辑关系：仔细分析原子命题之间的逻辑关系，并据此选择合适的逻辑连接词进行连接。

2.2.2 命题公式（Well-Formed Formula, WFF）

命题演算中的合式公式（WFF）是逻辑表达式的标准形式，其定义如下：

基础单：单个命题变自身就是一个WFF。
否定构造：如果A是WFF，那么¬A（A的否定）也是WFF。
复合构造：若A和B均为WFF，则(A∧B)（A与B的合取）、(A∨B)（A或B的析取）、(A→B)（A蕴含B）以及(A↔B)（A与B等价）均为WFF。
递归定义：仅通过有限次应用上述规则（基础单、否定构造、复合构造）所得到的，包含命题变、逻辑连接词及必要括号的符号串，方为WFF。

注意要点：

公式中的命题变被称为分量，含有n个分量的公式则称为n公式。例如，¬(P∧Q)是一个二公式，而P则是一公式。

并非所有看似合理的符号串都是WFF，如（(P→Q)→（∧Q））因结构不完整而非WFF。

命题公式的简化:

为了提升公式的可读性和简洁性，我们可以进行以下简化操作：

省略外层括号：在不会引起歧义的情况下，公式最外层的圆括号可以省略。
遵循运算优先级：通常，逻辑运算的优先级为否定（¬）、合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）、等价（↔）。在遵循这一顺序时，括号可以省略。
从左至右执行同级运算：对于同级运算，从左至右进行，此时括号同样可以省略。

例如，表达式(((P∨Q)∨R)∧Q)可以简化为(P∨Q∨R)∧Q

3 真值表与等价关系

如果联结词被视作逻辑运算符，而包含命题变p1,p2,…,pn的公式A，则可以视为一个关于这些变的真值函数。这里的每个变取值于集合{0,1}，其中0代表假（False），1代表真（True），同样地，真值函数的取值范围也是{0,1}。

3.1 命题公式的赋值

设P1,P2,…,Pn是出现在命题公式A中的所有命题变。为这些变指定一组具体的真值，我们称之为对公式A的一次赋值。如果这组赋值使得A成为真命题，那么这组赋值就被称为A的成真赋值；反之，则为A的成假赋值。

示例：考虑三公式P→(Q→R)。

当P=F,Q=T,R=F时，有P→(Q→R)=F→(T→F)=T（成真赋值），可简记为010。
当赋值为110时，P→(Q→R)=1→(1→0)=0（成假赋值）。

注意：包含n个不同变的公式总共有 $2^{n}$ 个不同的赋值情况。

将公式A的所有不同赋值及其对应的取值情况列成表格，这个表格就称为命题公式A的真值表。。

3.2 等价

若两个命题公式A和B具有相同的原子变P1,P2,…,Pn，且对于这些变的任意一组真值指派，A和B的真值都相同，则称A和B是等价的或逻辑相等，记作A⇔B。

证明两个命题公式等价的方法：

真值表法：直接比较A和B真值表的最后一列。
等价演算：利用基本公式、等价性质和置换定理，推导出其他等价式。

命题基本公式：

对等式：¬¬P⇔P

幂等式：P∨P⇔P，P∧P⇔P

结合律：(P∨Q)∨R⇔P∨(Q∨R)，(P∧Q)∧R⇔P∧(Q∧R)

交换律：P∨Q⇔Q∨P，P∧Q⇔Q∧P

分配律：P∧(Q∨R)⇔(P∧Q)∨(P∧R)，P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)

吸收律：P∨(P∧Q)⇔P，P∧(P∨Q)⇔P

德摩根定律：¬(P∧Q)⇔¬P∨¬Q，¬(P∨Q)⇔¬P∧¬Q

同一律：P∨F⇔P，P∧T⇔P

零律：P∨T⇔T，P∧F⇔F

否定律：P∨¬P⇔T，P∧¬P⇔F

等价的性质：

自反性：A⇔A

对称性：若A⇔B，则B⇔A

传递性：若A⇔B且B⇔C，则A⇔C

（置换定理）：若X是合式公式A的子公式，且X⇔Y，那么将A中的X用Y来置换后得到的公式B与A等价，即A⇔B。

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第一章 命题逻辑（上）