深入科普数学小知识

编程基础 • 2025-01-04 22:33 • 阅读 14

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1. 质数、合数知识延伸

1. 质数、合数知识延伸

1.1 定义

（1）质数： 质数（prime number）又称素数，有无限个。质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数（没法被其他自然数整除的数），最小的素数是2，而最大的素数并不存在，欧几里德已在其《几何原本》中证明。
（2）合数： 比1大但不是素数的数称为合数。
（3）非质非合：1和0既非素数也非合数
合数是由若干个质数相乘而得到的。所以，质数是合数的基础，没有质数就没有合数。

1.2 延伸知识

在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间（a, 2a]中）必存在至少一个素数。
存在任意长度的素数等差数列。
一个偶数可以写成两个合数之和，其中每一个合数都最多只有9个质因数。（挪威数学家布朗，1920年）
一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中合数的因子个数有上界。（瑞尼，1948年）
一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为（1 + 5）（中国潘承洞，1968年）
一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为（1 + 2）

1.3 质数的应用

质数被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找质数的过程（分解质因数）过久，使即使取得信息也会无意义。
在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。
在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，杀虫剂的质数次数的使用也得到了证明。实验表明，质数次数地使用杀虫剂是最合理的：都是使用在害虫繁殖的高潮期，而且害虫很难产生抗药性。
以质数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截。
多数生物的生命周期也是质数（单位为年），这样可以最大程度地减少碰见天敌的机会。

未完待续

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