8.3 单位矩阵和逆矩阵

　　线性代数提供了被称为逆矩阵（matrix inversion）的强大工具。对于大多数矩阵A，我们都能通过矩阵逆解析地求解式 $Ax=b$ 。

8.3.1 单位矩阵

　　为了描述矩阵逆，首先需要定义单位矩阵（identity matrix）的概念。任意向量和单位矩阵相乘，都不会改变。我们将保持 $n$ 维向量不变的单位矩阵记作 $I_n$ 。形式上， $I_n\in R^{n\times n}$ ，

\forall x \in R n, I n x = x (8.20)

$\forall x \in R^n,I_nx=x\quad(8.20)$

　　单位矩阵的结构很简单：
　　1. 它是“正方形”（行数与列数相同）
　　2. 所有沿主对角线的素都是1，而所有其他位置的素都是0

⎡ ⎣ ⎢ 100010001 ⎤ ⎦ ⎥

$\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\0&0&1 \end{bmatrix}$

8.3.2 逆矩阵概念

　　矩阵 $A$ 的逆矩阵（matrix inversion）记作 $A^{-1}$ ，其定义的矩阵满足如下条件：

A - 1 A = I n (8.21)

$A^{-1}A=I_n\quad(8.21)$
　　其实矩阵的逆矩阵跟倒数的性质一样，不过只是我们习惯用

A−1 $A^{-1}$ 表示。而倒数可以表示成

1/x $1/x$ 或者

x−1 $x^{-1}$ 的形式，而不能把

A $A$ 的逆矩阵写成

1/A $1/A$ 的形式，其主要原因是矩阵不能被除。
　　为了理解矩阵的逆，其和倒数还有其他相似之处：

当我们将一个数乘以它的倒数我们得 $1$ 。 $1 \times (1/8) = 1$
当一个矩阵乘以逆时，我们得到了单位矩阵。 $A \times A^{-1}=I$
矩阵与逆矩阵乘法与数乘一样，交换位置结果不变 $(1/8) \times 8 = 1$ ，即乘法满足交换律 $A^{-1}\times A= I$

8.3.3 行列式和求解逆矩阵

　　以二维矩阵为例，其逆矩阵求解公式如下：

[a c b d] - 1 = 1 a d - b c [d - c - b a]

${\begin{matrix} \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}^{-1}= \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d&-b \\ -c&a \end{bmatrix} \end{matrix}}$
　　换句话说：交换a和b的位置，将负数置于b和c的前面，并将所有素除以行列式（ad-bc）。由于0不能为除数，因此判断一个矩阵是否为逆的要条件就是行列式是否为0。矩阵的行列式计为det（determinatnt的缩写），其意义就是决定因子，即决定逆矩阵是否存在。

d e t [a c b d] \neq 0 \Leftrightarrow [a c b d] - 1

${\begin{matrix} det \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} \neq 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} ^{-1} \end{matrix}}$

　　例题：

求解逆矩阵例题
　　利用逆矩阵的概念逆推，即将矩阵乘以逆矩阵，最终求得单位矩阵。

矩阵乘以逆矩阵

8.3.4 求解矩阵方程

　　矩阵中没有被除的概念，而矩阵的逆，可以解决“矩阵除法”的问题。假如我们没有“除法”规则，那么解决“把10个苹果分给两个人”的问题，可以采取2的倒数（ $\frac{1}{2}=0.5$ ）来计算，那么答案就是 $10 \times 0.5 = 5$ ，也就是每个人5个苹果。
　　我们也可以利用以上方法，已知矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ ，求解矩阵 $X$ 。即 $XA = B$ 。最好的方法是直接除以 $A$ ，得到 $X=B/A$ ，但事实上我们不能直接除以 $A$ 。但我们可以在公式两边都乘以 $A^{-1}$ 。即 $XAA^{-1}=BA^{-1}$ 。
　　因为 $AA^{-1}= I$ ，所以就得到 $XI=BA^{-1}$ 。而此时单位矩阵 $I$ 可以直接去掉，于是求得 $X=BA^{-1}$ 。因此通过 $A^{-1}$ ，就可以直接计算出矩阵 $X$ 。

　　我们尝试用矩阵思维来解答，首先设置好矩阵（注意矩阵的行和列是否正确）：

矩阵方程

　　然后求解 $A$ 的逆矩阵：

求解逆矩阵

　　根据公式 $X=BA^{-1}$ ，求解 $X$ 。

求解矩阵方程

　　根据求解所得，一共有 $16$ 个儿童和 $22$ 个大人。这样的计算其实非常有利于工程师设计建筑物，视频游戏和计算机动画等许多地方，它是解线性方程组的一种解法。虽然是求矩阵的逆，只要打开Python工具的NumPy库，输入numpy.inv(A)，即可求得 A <script type="math/tex" id="MathJax-Element-283">A</script>的逆矩阵。虽然这个过程是由计算机完成，但我们还是有必要去了解公式，因为这正是数学的美妙之处。

今天的文章 8.3 单位矩阵和逆矩阵分享到此就结束了，感谢您的阅读。

8.3 单位矩阵和逆矩阵

8.3.1 单位矩阵

8.3.2 逆矩阵概念

8.3.3 行列式和求解逆矩阵

8.3.4 求解矩阵方程

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