旋转体的体积和表面积

积分公式

令曲线 $y = f (x)$ 绕 $x$ 轴旋转，形成的旋转体，则其体积和表面积可以计算积分而得（假设体积和表面积一定存在，积分一定存在，这里不讨论数学问题）。
体积公式为：
$V={\int}{\pi}{y^2}dx$
表面积公式为
$S=\int{2\pi}{y}\sqrt{1+{y^{\prime}}^2}dx$
剩下的就是推导定积分公式。
ZOJ3866 Cylinder Candy
ZOJ3866，一个圆柱体半径为 $r$ mm，高度为 $h$ mm，外围包裹着 $d$ mm厚的涂层，求其表面积和体积。这个题目要精确到 $10^{-8}$ ，推不出积分公式就不用做了。
正视图
整个部分最关键的就是四个边角的形状，四个边角合在一起恰好是一个圆环的外半侧。所以关键就是求圆环的外半侧的体积以及表面积。
曲线方程为：
$y=r+\sqrt{d^2-x^2},x\in\left[-d,d\right]$
则，体积积分为：
$V=\pi\int(r^2+d^2-x^2+2r\sqrt{d^2-x^2}\;)dx\\=\pi\int(r^2+d^2)dx-\pi\int{x^2}dx+2\pi{r}\int\sqrt{d^2-x^2}dx$
第3项稍微麻烦一点，其不定积分为：
$\int\sqrt{d^2-x^2}dx=\frac{1}{2}x\sqrt{d^2-x^2}+\frac{d^2}{2}arcsin{\frac{x}{d}}+C$
表面积公式首先要求 $y$ 的导数：
$y\prime=-\frac{x}{\sqrt{d^2-x^2}}$
所以，
$1+{y\prime}^2=\frac{d^2}{d^2-x^2}$
表面积的积分为：
$S=2\pi\int({r+\sqrt{d^2-x^2}})\frac{d}{\sqrt{d^2-x^2}}dx\\=2\pi{rd}\int\frac{1}{\sqrt{d^2-x^2}}dx+2\pi{d}\int{dx}$
第一项就是 $arcsin\frac{x}{d}+C$ 。
所以，体积和表面积全部可以求出原函数的解析式。

然后把其他部分的圆柱体算上即可。

#include <cstdio> #include <cmath> double const PI = acos(-1.0); double const DELTA = 1E-6; double R,H,D; double integral(){ return (2.0*D*R*R+4.0*D*D*D/3.0+D*D*R*PI) * PI; } double integral2(){ return 4.0*PI*D*D + 2.0*PI*PI*R*D; } int main(){ int nofkase; scanf("%d",&nofkase); while( nofkase-- ){ scanf("%lf%lf%lf",&R,&H,&D); double v = integral() + PI * ( R + D ) * ( R + D ) * H; double s = integral2() + 2.0 * PI * ( R + D ) * H + 2.0 * PI * R * R; printf("%.12lf %.12lf\n",v,s); } return 0; }

ZOJ3898 Stean
ZOJ3898同样是旋转体的表面积和体积。曲线为：
$y = 2 + cos x$
不同点在于定积分公式中有一项是得不到解析式的。但是这道题很明显曲线是周期性函数，定积分的周期就是 $\pi$ ，而题目要求在 $10^{-2}$ 以内，所以取 $\epsilon$ 为 $10^{-3}$ 或 $10^{-4}$ 直接使用积分定义去计算。每次计算需要迭代的次数在几万次，应该是没有问题的。
体积积分：
$V=\pi\int(2+cosx)^2dx\\=4\pi\int{dx}+4\pi\int{cosx}dx\\+\pi\int{cos^2x}dx$
其中第三项为：
$\int{cos^2x}dx=\frac{x}{2}+\frac{sin2x}{4}+C$
表面积积分：
$S=2\pi\int(2+cosx)\sqrt{1+sin^2x}\;dx\\=4\pi\int\sqrt{1+sin^2x}\;dx\\+2\pi\int\sqrt{1+sin^2x}\;dsinx$

其中第一项不知道积不积得出来，反正我没有积出来。数学不行，就用计算机的方法算。第二项令 $t = s in x$ ，则
$\int\sqrt{1+t^2}\;dt=\frac{1}{2}t\sqrt{1+t^2}+\frac{1}{2}\ln{\left|{t+\sqrt{1+t^2}}\right|}+C$

#include <cstdio> #include <cmath> double const PI = acos(-1.); double const EPS = 1E-4; //计算一个周期 double init1p(){ double ret = 0.0; for(double x=0.0;x<=0.5*PI;x+=EPS){ double t = sin(x); ret += sqrt(1.0+t*t); } return 8.0*PI*ret*EPS; } double const ONEP = init1p(); double v(double z1,double z2){ return 4.0 * PI * ( z2 - z1 ) + 4.0 * PI * ( sin(z2) - sin(z1) ) + 0.5 * PI * ( z2 - z1 ) + 0.25 * PI * ( sin(z2+z2) - sin(z1+z1) ); } double s(double z1,double z2){ //计算底面积 double y1 = 2.0 + cos(z1); double ret = PI * y1 * y1; //计算解析式的积分 double t2 = sin(z2), t1 = sin(z1); double tt2 = sqrt(1.0+t2*t2), tt1 = sqrt(1.0+t1*t1); ret += PI * ( t2 * tt2 - t1 * tt1 ) + PI * ( log(fabs(t2+tt2)) - log(fabs(t1+tt1)) ); //计算周期 int n = (int)(( z2 - z1 ) / PI); ret += ONEP * (double)n; //计算积分 double tmp = 0.0; for(double x=z1+PI*(double)n;x<=z2;x+=EPS){ double t = sin(x); tmp += sqrt(1.0+t*t); } return ret += tmp * 4.0 * PI * EPS; } int main(){ int kase; scanf("%d",&kase); while(kase--){ double z1,z2; scanf("%lf%lf",&z1,&z2); printf("%.5lf %.5lf\n",v(z1,z2),s(z1,z2)); } return 0; }

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旋转体的体积和表面积

积分公式

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