【不定积分】不定积分知识点总结

不严谨但通俗地说，不定积分就是知道导函数 $f (x)$ 找原函数 $F (x)$ .

以下如无特别说明，用 $F (x)$ 代表原函数， $f (x)$ 代表其导函数.

举个例子： $\begin{cases} x+5, x>3 \\ x^2, x\leq3 \end{cases}$ ， $x = 3$ 是跳跃间断点，则这个函数没有原函数，找不到一个 $G (x)$ ，使得 $G (x)^{'} = g (x)$ 。

1.凑微分

$f(x)\begin{cases} 假分式\rightarrow化成真分式（多项式除法）\rightarrow 拆项（专门方法下面写）\\ 真分式（多项式除法）\rightarrow 拆项（专门方法下面写） \end{cases}$

拆项：分子的因式为几次就分别拆成几项；拆成每项的分子次数从一次依次递增；拆成每项的分子是比分母括号里的次数第一次的待定多项式。
比如 $\frac{h(x)}{(ax+b)(cx+d)^2(ex^2+gx+h)^3}$ 分子有两个因式，拆成（1+2+3=6）项。第一个分母是一次因式，后两个分母分别是一次和一个二次，最后三个分母分别是一次，二次，三次。分子都是比分母括号里低一次的待定多项式。拆成
$\frac{A_1x^0}{ax+b}+\frac{A_2x^0}{cx+d}+\frac{A_3x^0}{(cx+d)^2}+\frac{A_4x+B_1}{ex^2+gx+h}+\frac{A_5x+B_2}{(ex^2+gx+h)^2}+\frac{A_6x+B_3}{(ex^2+gx+h)^3}$
然后根据对应系数相等求出未知数。
两个常用的结论可以直接记下来：
$\int\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C$
$\int\frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$

2.三角函数

形如 $\int sin^3xdx$ 、 $\int cos^4xdx$ 这种，偶数次拆项（用二倍角公式），奇数次降幂（凑一个到后面）。
形如 $\int cos3xcos2xdx$ 用积化和差公式
形如 $\int\frac{asinx+bcosx}{csinx+dcosx}dx$ 分母不变，作如下处理
$\int\frac{asinx+bcosx}{csinx+dcosx}dx=\int\frac{A(csinx+dcosx)+B(csinx+dcosx)'}{csinx+dcosx}dx$
用对应系数相等求出A,B.然后拆开算。
两个常用的结论可以直接记下来：
$\int secxdx=ln|secx+tanx|+C$
$\int cscxdx=ln|cscx-cotx|+C$
遇到 $sec^2x,tan^2x$ ,多考虑能否使用 $1+tan^2x=sec^2x$ 做代换。 $sec^2x$ 一个原函数就是tanx.

3.遇根号，有四种主要情况：

$\int x\sqrt{x^2-9}dx$ 直接凑微分、

$\int\sqrt{x^2+2x+5}dx=\int\sqrt{(x+1)^2+4}dx$ 然后凑微分、

$\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}$ 令 $x=t^6$ 、

分母有理化等技巧.

4.倒代换：分子次数高时使用

5.绝大多数题目做不出，是因为没有变量代换或者代换不合适

6.分部积分

那么问题来了，该把谁凑到d 后面呢？
反对幂三指
越靠右的越优先拿到后面。这样可以通过分部积分公式简化积分，便于运算。
该方法本质是把复杂的函数（比如反三角函数，对数函数）留在d 前面，然后使用分部积分公式时就可以对其求导，这种函数求导之后会变成友好的有理分式。

7.分段函数求不定积分

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