第二章测试系统

测试系统的定义：完成某种物理量的测量由具有某一种或多种变换特性的物理装置构成的总体。

测试系统与输入/输出量之间的关系

静态测量：测量过程中被测量保持恒定不变的测量；

动态测量：被测量本身随时间变换，而测量系统又能准确地跟随被测量变化而变化，称为动态测量；

静态测量时，测试系统表现出的响应特性称为静态特性；

动态测量时，测试系统的输出随输入而变化的关系，称为动态特性；

2.1 静态特性

（一）测量仪器的准确度及其定量指标

准确度指测量仪器给出的示值和真值的接近程度。

· 测量仪器最主要的计量性能指标；

· 测量仪器的准确度仅仅由仪器自身的原因造成；

· 准确度是一个定性概念；

· 定量指标用准确度等级、示值误差或引用误差表示；

① 示值误差 = 测量值 - 真实值（真实值用约定真值代替）

② 引用误差 = 示值误差/量程

③ 准确度等级就是根据示值误差或引用误差而划分的准确度等级

当某个测量仪器的引用误差不大于0.01时（1%），该仪器的准确度为1级。但只是准确度等级为1级而非准确度为1%（≤1%）

如：电工仪表的准确度等级可分为：0.1， 0.2， 0.5， 1.0， 1.5， 2.0， 5.0七级

（二）测量仪器的重复性（精密度）

在相同测量条件下，重复测量同一个被测量时测量仪器示值的一致程度；

重复性可以用示值的分散性来定量表示。要求仪器示值分散在允许的范围内；

重复性是测量仪器的重要指标，反映了仪器工作的可信度和有效性；

（三）灵敏度

系统输出信号的变化相对于输入信号变化的比值，反映了仪器对输入量变化的反映能力，是一个基本参数。

$k=\frac{dy}{dx}=f'(x)$

· 线性检测装置—— $k=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

· 非线性检测装置——k为输入量x的变量

· 环境温度能造成灵敏度随之变化

· 灵敏度越高，系统反映输入微小变化的能力就越强。但灵敏度越高，会影响系统的稳定性及测量范围。在同等输出范围的情况下，灵敏度越大测量范围越小。

（四）分辨力

分辨力是指测试系统可能检测出被测信号的最小变化的能力，通常是以最小单位输出量变化所对应的输入量变化来表示。

· 分辨力与灵敏度有密切关系，即为灵敏度倒数；

· 分辨力可以用绝对值Δ，也可以用满量程的百分比δ来表示；

· 对于数字测试系统，其输出显示系统的最后一位所代表的输入量即为该系统的分辨力；

（五）信噪比

混杂在输出信号中的无用成分称为噪声。

· 信噪比的表达式：

① 定义1： 20lg(A_s/A_N) （输出信号峰值/噪声信号峰值）；

② 定义2： 10lg(P_s/P_N) （输出信号功率/噪声信号功率）；

一般仪器的信噪比要在40分贝以上。

（六）示值范围、标称范围、量程、测量范围和动态范围

· 示值范围是显示装置上最大与最小示值的范围；

· 当仪器有多档量程时，用标称范围取代示值范围；

· 量程是指标称范围两极限值之差的模（如：温度计下限-30，上限80，则量程为110）

· 测量范围又称工作范围，指测量仪器的误差处在规定极限内的一组被测量的值。一般小于或等于标称范围。

· 动态范围是指仪器所能测量的最强信号和最弱信号之比，

动态范围=20lg（最大信号赋值或有效值/最小信号幅值或有效值）

· 测量范围可以随着输入信号的衰减或增益而改变，但动态范围不变。

（七）漂移、回程误差、线性度

在输入不变的情况下，测量仪器的特性随时间缓慢变化的现象称为漂移。

· 温度的漂移（温漂）：灵敏度的温漂、零位的温漂——定量表示

· 回程误差——迟滞/滞后误差：在相同情况下，测量仪器的行程方向（指输入量增大或减小两个方向）不同，而同一输入量最大示值之差的绝对值，或者此绝对值与满量程输出之比的百分数。

$\delta_h = \frac{\Delta_{Hmax}}{y_{FS}}*100%$

· 线性度（非线性度）：指测试系统的输入、输出关系保持常值线性比例关系的程度。常用量程内特性曲线与拟合直线的最大输出量偏差绝对值与满量程输出之比表示。

$\gamma_0 = \frac{B_{max}}{A}*100%$

2.2 动态特性（Dynamic Performance）

动态特性是指输入量随时间变化时，其输出随输入而变化的关系。反映系统动态范围的指标有：工作频率范围、响应特性和响应时间。

· 工作频率范围：能确保测量仪器规定准确度的被测量频率范围；

· 响应特性：在确定条件下，激励和对应响应之间的关系；

· 响应时间：输入量和对应输出量两个特定时刻的时间间隔；

系统的动态特性一般通过描述系统的数学模型如微分方程或找出系统的动态特性函数如传递函数、频率响应函数等来进行研究。

2.2.1 测试系统的数学模型及频率特性

2.2.1.1 系统模型的划分

测试系统被分为线性系统与非线性系统，线性系统是指具有叠加性、比例性的系统；

时变系统与时不变系统：由系统参数是否随时间而变化决定。

一般的测试系统都可视为线性时不变系统。

线性系统的性质：假设输入量为 x_1(t),x_2(t),x_3(t)

① 叠加性：

$x_1(t)+x_2(t)+x_3(t)\rightarrow y_1(t)+y_2(t)+y_3(t)$

② 比例特性（齐次性）：

$ax_1(t)\rightarrow ay_1(t)$

③ 微分特性：

$\frac{dx}{dt}\rightarrow \frac{dy}{dt}$

④ 积分特性：

$\int_{0}^{t}x(t)dt \rightarrow \int_{0}^{t}y(t)dt$

⑤ 频率保持性：

$x(t)=x_0e^{jw_0t} \rightarrow y(t)=y_0e^{j(w_0t+\varphi_0)}$

重要结论：线性系统具有频率保持特性的含义是输入信号的频率成分通过线性系统后仍保持原有的频率成分。

根据输入信号的频率成分确定输出信号的频率成分，识别输出信号的真伪及噪声、干扰；

比较输入输出信号的频率成分，判断系统是否为线性系统。

2.2.1.2 测试系统的广义数学模型

测试系统的数学模型是根据相应的物理定律（如牛顿定律、能量守恒定律、基尔霍夫电路定律等）而得出的一组将输入和输出u联系起来的数学方程式。

一、常系数线性微分方程（General Differential Equation）

线性时不变系统可用常系数线性微分方程来描述其输入x(t)和输出y(t)之间的关系。

• $a_n,a_{n-1},a_0,b_m,b_{m-1},b_0$ 是由系统本身物理参数所决定的常数，系统的阶次由输出量最高微商阶次n决定。

例：RLC电路，如果输入电压随时间变化的 u_r(t) ，其输出是随时间变化的电压 u_c(t) ,则输入和输出之间的微分方程为：

二、传递函数（Transfer Function）

描述系统动态特性更为广泛的函数是传递函数。

传递函数的定义：x(t)、y(t)及其各阶导数的初始值为零，系统输出信号的拉普拉斯变换（拉氏变换）与输入信号的拉氏变换之比，即为H(s)：

$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$

式中：Y(s)为输出信号的拉氏变换：

$Y(s)=\int^{\infty}_{0}y(t)e^{-st}dt$

X(s)为输入信号的拉氏变换：

$X(s)=\int^{\infty}_{0}y(t)e^{-st}dt$

s为复频率：

$s=\sigma + jw, \sigma>0$

由：

$L[\frac{d^ny(t)}{dt^n}]=s^nY(s)$

对两边作拉氏变换：

一般测试系统都是稳定系统，其分母中s的幂次总是高于分子中s的幂次。

三、环节的串联和并联

一个测试系统中，通常是由若干个环节所组成，系统的传递函数与各环节的传递函数之间的关系取决于各环节之间的结构形式。

任何一个高于二阶的系统都可以看成是由若干各一阶和二阶系统的并联或串联。因此，一阶和二阶系统是分析和研究高阶、复杂系统的基础。

1. 串联系统

系统的传递函数为：

$H(s)=\prod ^n_{i=1}H_i(s)$

2. 并联系统

系统的传递函数为：

$H(s)=\sum ^n_{i=1}H_i(s)$

2.3 傅里叶分析（时域和频域的概念）

我们看到的世界都以时间贯穿，都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称为时域分析。但用另一种方法来观察世界的话，我们可以发现世界是永恒不变的，这个静止的世界叫频域。

2.3.1 傅里叶分析的含义

傅里叶变换：1822年法国Fourier提出谐波分析的概念，指出一个任意周期函数都可以分解成无穷多个不同怕你率正弦信号的和，这即傅里叶级数，求解傅里叶级数的过程就是傅里叶变换。

傅里叶分析的理解：随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。

不仅是矩形，任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来得到。

通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中的全部信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。不同的相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要相位谱。

为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？

分解信号的方法是无穷的，但分解的目的是为了更加简单。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质——正弦曲线的保真度。

一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状是一样的，且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数。

2.3.2 傅里叶变换的物理含义

傅里叶原理表明：任何连续测量的时序信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创建的傅里叶变换算法利用直接测量得到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

反傅里叶变换算法，从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将多个单独改变的正弦波信号转换成一个信号。

因此，傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

2.4 频率响应函数（Frequency Response）

当测试系统的输入为正弦信号：

$x(t)=X_0e^{jwt}$

根据频率保持特性，系统稳态输出为同频率的正弦信号：

$y(t)=Y_0e^{j(wt+\varphi)}$

将输入、输出代入微分方程得：

定义频率响应函数为该频率信号的输出与输入之比，记作 H(jw)

H(jw)一般为复数，写成实部和虚部的形式：

H(jw)=R_e(w)+jI_m(w)

或者

$H(jw)=A(w)e^{j\Phi (w)}$

其中：

$A(w)=|H(jw)|=\sqrt{R^2_e(w)+I^2_m(w)}$

$\Phi(w)=\angle H(jw)=arctan\frac{I_m(w)}{R_e(w)}$

A(w)-w曲线称为幅频特性曲线，Φ(w)-w曲线称为相频特性曲线。

以s=jw代入传递函数式，也可以得到频率响应函数，说明频率响应函数是传递函数的特例。

Y(w)=X(w)H(w)

将微分方程两边作傅里叶变换，在变换过程中利用傅里叶变换的微分性质可以得到：

$F[f^{(n)}(t)]=(jw)^nF(jw)$

则：

重要结论：通过傅里叶变换可把满足一定条件的任意信号分解成不同频率的正弦信号之和，因此从物理意义上说，频率响应函数在频率域中反映一个系统对各种频率正弦输入信号的稳态响应，故又称为正弦传递函数。

频率响应函数可以较为容易地通过实验的方法获得，因而成为最广泛的动态特性分析工具。

2.5 常见测试系统

系统阶次由输出量最高微分阶次确定。最常见的测试系统可概括为零阶系统、一阶系统、二阶系统。

2.5.1 零阶系统（zero-order system)

零阶系统的输出和输入同步变化，不产生任何的失真和延迟，因此是一种理想的测试系统，如位移电位器、电子示波器等。

数学表达：

a_0y=b_0x

传递函数：

$\frac{Y}{X}(s)=K=\frac{b_0}{a_0}$

2.5.2 一阶系统（First-Order System)

一阶仪表：

（1）数学表达：

$a_1\frac{dy}{dt}+a_0y=b_0x$

（2）传递函数：

$\frac{Y}{X}(s)=\frac{K}{\tau s+1}$

·静态灵敏度：

$K=\frac{b_0}{a_0}$

·时间常数：

$\tau = \frac{a_1}{a_0}$

（3）输出量：

$y(t)=K(1-e^{-\frac{t}{\tau}})x(t)$ $y(t)=K(1-e^{-\frac{t}{\tau}})$

在工程实际中，一个忽略了质量的单自由度震动系统，在施于A点的外力f(t)作用下，其运动方程为：

$c\frac{dy(t)}{dt}+ky(t)=f(t)$

一阶系统的频率响应函数为：

$H(jw)=\frac{1}{1+jw\tau}$

一阶系统的频率特性：

（1）一阶系统是一个低通环节，只有当w远小于1/T时，幅频响应才接近于1，因此一阶系统只适用于被测量缓慢或低频的参数。

（2） $w=\frac{1}{\tau}$ 幅频特性降为原来的0.707（即-3dB），相位角滞后45°，时间常数τ决定了测试系统适应的工作频率范围。τ越小，响应越快，可测频率范围越宽。

2.5.3 二阶系统（Second-order System）

数学表达：

传递函数：

频率响应函数：

静态灵敏度(Transduction Constant):

$K=\frac{b_0}{a_0}$

系统固有频率(The Angular Ntural Frequency):

$w_n=\sqrt{\frac{a_0}{a_2}}$

阻尼比(Damping Ratio):

$\zeta =\frac{a_1}{2\sqrt{a_0a_2}}$

如图所示为弹簧-质量-阻尼系统

其运动方程为：

将此公式左右作傅里叶变换得：

该系统的频率响应函数为：

二阶系统的频率特性：

（1）二阶系统是一个低通环节，当 w/w_n 很小时，A(w)≈k，当 w/w_n >>1，A(w)➡0；

（2） $w=w_n\sqrt{1-2\zeta^2}$ 系统发生共振， w/w_n =1时，A(w)=k/(2ζ)，Φ=-90°

（3）二阶系统动态参数有两个：固有频率 w_n 和阻尼比ζ。应选择合适的固有频率和阻尼比以扩大工作频率范围。

2.5.4 理想测试系统

如果输入输出信号满足：

y(t)=A_0(t-t_0)

A_0 和 t_0 都是常数，称为不失真测试：

$Y(jw)=A_0X(jw)e^{-jwt_0}$

则：

$H(jw)=\frac{Y(jw)}{X(jw)}=A_0e^{-jwt_0}$

信号不失真测试是指系统的输出信号与输入信号相比，只有幅度大小和时间先后不同，而没有波形的变化。

2.6 测量系统对瞬态激励的响应

瞬态响应，反映了系统的固有特性。因此评价系统动态特性的一个重要方法就是分析系统对瞬态输入信号的反映。

2.6.1 脉冲响应函数

如果输入信号是单位脉冲信号，即：

$x(t)=\delta(t)$

单位脉冲信号δ(t)的定义为：

$\delta(t)_{t\neq 0}=0$

$\int^{\infty }_{-\infty}\delta(t)dt=1$

经过拉氏变换：

$X(s)=L[\delta(t)]=1$

Y(s)=H(s)X(s)=H(s)

$y(t)=L^{-1}[Y(s)]=L^{-1}[H(s)]=h(t)$

系统对单位脉冲函数δ(t)的响应h(t)：

h(t)常称为脉冲响应函数。

2.6.2 测试系统对任意输入信号的时频域响应

若测试系统在任意输入信号x(t)时输出信号为y(t)。为分析系统对信号的转换特性，现将输入信号x(t)按时间等间隔分割离散成许多窄矩形，在 t_i 时刻窄矩形的面积为 $x(t_i)\Delta{t_i}$ 。当 $\Delta{t_i}$ 足够小的时候，则窄矩形可以视作在 t_i 时刻幅度为 $x(t_i)\Delta{t_i}$ 的脉冲输入。根据延迟单位脉冲信号 $\delta(t-t_i)$ 引起系统响应为 h(t-t_i) 的原理，在 t_i 时刻幅度为 $x(t_i)\Delta t_i$ 的脉冲输入引起的系统响应为 $[x(t_i) \Delta t_i]h(t-t_i)$ 。因而由很多窄条叠加而成的x(t)所引起的总的响应y(t)应为各窄条分别的响应之和。

$y(t)\approx \sum^{t}_{t_i=0}[x(t_i)\Delta t_i]h(t-t_i)$

令 $\Delta t_i \rightarrow 0$ ，则可得

$y(t)=\int^t_0x(t_i)h(t-t_i)dt_i$

该式可以写成卷积形式：

y(t)=x(t)*h(t)

由卷积式可以表明，在时域内，测试系统对任意输入 x(t) 的响应 y(t) 式输入信号 x(t) 宇系统的单位脉冲响应函数的卷积。所以说，单位脉冲响应函数标志着一个测试系统对信号的传输特性。只要知道了测试系统的单位脉冲响应函数，就可以通过卷积计算出任意一输入信号通过该测试系统的输出信号。

由于卷积计算是一件比较困难的事，因此为了处理问题简捷，常用在复频域和频域内描述测试系统对任意输入信号的响应。复频域内的运算：

Y(s)=H(s)X(s)

此时表明，在复频域内，测试系统对任意输入X(s)（输入x(t)的拉普拉斯变换）的响应Y(s)（响应y(t)的拉普拉斯变换）式输入X(s)与系统传递函数H(s)的乘积。

2.7 测试系统频率特性的确定

测定频率响应函数的目的：在作动态检测时，要确定系统的不失真工作频段是否符合要求。

测定频率响应函数的方法：用标准信号输入，测出其输出信号，从而求得需要的特性。

输入的标准信号有正弦信号和阶跃信号。

2.7.1 正弦信号激励

理论依据（频响）：

$H(jw)=\frac{Y(w)}{X(w)}=A(w)e^{j\varphi(w)}$

方法：输入各种频率的正弦信号，检测系统的输出信号，作出对频率成分的输出与输入信号的幅值比（幅频特性）和相位差（相频特性），是最为精准的方法。

（1）对于一阶测试系统，主要特性参数是时间常数τ，可以通过幅频、相频特性数据直接计算τ值：

$H(jw)=\frac{1}{jw\tau +1}$

（2）对于二阶测试系统，通常通过幅频特性曲线估计其固有频率和阻尼比。实际欠阻尼系统（ζ<1）幅频特性曲线峰值不再固有频率处，而满足：

$w_r=w_n\sqrt{1-2\zeta^2}$

$\frac{A(w_r)}{A(0)}=\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}$

在w=w0处输出与输入的相位差为90°，相频曲线在该点的斜率反映了阻尼比的大小。

缺点：相位的精确测量很难实现。

2.7.2 阶跃信号激励

阶跃信号激励也可以用来测量系统频率响应函数中的决定性参数，如固有频率 w_n 和阻尼比 $\zeta$

（1）一阶测试系统的阶跃响应函数为：

$y(t)=1-e^{-\frac{t}{\tau}}$

$1-y(t)=e^{-\frac{t}{\tau}}$

对两边取对数：

Z=ln[1-y(t)]

$-\frac{t}{\tau}=ln[1-y(t)]$

$Z=-\frac{t}{\tau}$

$\frac{dZ}{dt}=-\frac{1}{\tau}$

（2）二阶测试系统的阶跃响应

理论分析表明，二阶系统的阶跃响应函数表明它的瞬态响应是以 $w_d=w_n\sqrt{1-\zeta^2}$ 的圆频率做衰减震荡。阻尼比ζ越大，超调量M越小，震荡波形衰减越快。

2.8 测量不确定度

2.8.1 测量不确定度的含义

定义：测量结果含有一个参数，是以表征合理的赋予被测量量值的分散性。

测量结果的表示：

$Y=y\pm U$

y是被测量的估计值，U是测量不确定度。

测量结果并非一个确定值，而是包含分散的无数个可能值所处的一个区间。测量不确定度正式这个区间的度量。

2.8.2 产生不确定度的原因

与检测系统的组成和各组成环节有关。

（1）由被测对象本身引起的不确定性，性质、状态、条件以及被测量的种类、状态。

（2）因检测理论的假定产生的不确定性，实际情况与假定情况不符；

（3）检测系统各环节所使用的材料性能和制造技术引起的不确定性；

（4）检测系统各环节动力源的变化引起的不确定性，电流、电压、气压、液压等；

（5）检测系统器件特性变化引起的不确定度——偏离设定值

（6）检测环境引起的不确定度，环境条件（温度、湿度、气压等）差异——器件的性能；

（7）检测方法的不确定性：检测方法、采样方法、测量重复次数、取样时间

（8）检测人员造成的不确定性：人员视觉、读数误差、经验、熟练程度、精神方面的问题

2.8.3 测量不确定度的评定方法

（一）标准不确定的评定

1. 标准不确定度的A类评定：

用统计分析方法获得的不确定度评定，称为A类评定，在相同测量条件下得到若干独立观测值： $q_1,q_2,q_3,\cdot \cdot\cdot,q_n$ ，其算数平均值为 $\bar{q}$ ;

如果用任一独立测量值 q_i 作为被测量的估计值，其标准不确定度的A类评定为：

$u_i=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum^n_{i=1}(q_i-\bar{q})^2}$

如果用这些观测值的平均值表示被测量的估计值，其标准不确定度的A类评定为：

$u_i=\sqrt{\frac{1}{n(n-1)}\sum^n_{i=1}(q_i-\bar{q})^2}$

2. 标准不确定度的B类评定

通过非统计分析法得到的不确定度，称为B类评定。分析影响被测量估计值的全部信息，如以前的测量数据、有关仪器和装置的一般知识、使用说明书、检验证书、其他报告或手册提供的数据。需要深刻了解有关测量知识、测量过程和经验积累

2.8.4 自由度及其确定

含义：自由度定量表征了不确定评定的质量。自由度越大表示不确定度的评定结果越可信，评定质量越高。

确定方法：若某量等于若干项变量之和，则该量的自由度等于和的项数减去对和的限制数。例如n个独立观测值方差的自由度为n-1，不确定度的自由度等于不确定度计算表达式中总和所包含的项数减去各项之间存在的约束条件。

（1）标准不确定度A类评定的自由度：

v=n-1

（2）标准不确定度B类评定的自由度：

$v=\frac{1}{2(\frac{\sigma(u)}{u})^2}$

$\sigma(u)$ 是u的标准差， $\frac{\sigma(u)}{u}$ 称为u的标准不确定度。

根据确定u时的信息来源判断u的可信程度。对u有80%的把握，则

$\frac{\sigma(u)}{u}=20%$

来源越可靠，自由度越大。

2.8.6 测量不确定度的合成

（1）合成标准不确定度

对任何一个直接测量量，由于有若干个相互独立的因素影响它的估计值，因此xi对应若干标准不确定度分量 $u_{xi1},u_{xi2},\cdot\codt\codtu_{xim}$

$u_i=\sqrt{u2_{xi1}+u^2_{xi2}+\codt\cdot\cdot+u^2_{xim}}$

（2）间接测量量

$y=f(x_1,x_2,x_3,\cdot\cdot\cdot,x_N)$ 若每个直接测量量 $x_1,x_2,x_3,\cdot\cdot\cdot,x_N$ 的标准不确定度分量为 $u_1,u_2,u_3,\cdot\cdot\cdot,u_N$ ，则y的合成标准不确定度为：

$u_c=\sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x_1})^2u_1^2}+\sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x_2})^2u_2^2}+\cdot\cdot\cdot+\sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x_N})^2u_N^2}$

此时测量结果就可以表示为：

$Y=y\pm u_c$

（3）展伸不确定度

在一些高精度比对或安全、健康相关的测量当中，希望给出测量结果的区间，使被测量的各次观测值以大概率被包含在区间内。这个区间宽度的一半称为展伸不确定度或扩展不确定度。

U=ku_c,k=t_p(v)

v是合成标准不确定度的 u_c 的自由度：

$v=\frac{u_c^4}{\sum^N_{i=1}\frac{u_i^4}{v_i}}$

包含因子： k=t_p(v)

t_p 则根据置信概率p和自由度v查t分布表得到。

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第二章 测试系统