Cerea学习，包含示例代码

Ceres Learning

githut

0 参考资料

（1）Ceres Solver

（2）Ceres-Solver学习笔记(1)

（3）Ceres-Solver学习笔记(2)

（4）Ceres-Solver学习笔记(3)

（5）Ceres-Solver学习笔记(4)

（6）Ceres-Solver学习笔记(5)

（7）Ceres-Solver学习笔记(6)

（8）Ceres-Solver学习笔记(7)

（9）Ceres-Solver学习笔记(8)

（10）Ceres-Solver学习笔记(9)

1 练练手

1.1 非约束最优化问题

arg min x f (x) = 1 2 (10 - x) 2 (1)

${\arg \min}_{x} f(x)=\frac{1}{2}(10-x)^{2}\tag{1}$

步骤

（1）编写CostFunction结构体。必须重载运算符()，必须使用模板类型，所有输入参数和输出参数都使用模板类型。

（2）构造一个求解非线性最小二乘法的Problem来进行未知数求解。

1.2 曲线拟合

（1）魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass function)

f (x) = \sum n = 0 N a n c o s (b n π x) (2)

$f(x)=\sum_{n=0}^{N}a^{n}cos(b^{n} \pi x)\tag{2}$

其中 $0<a<1$ ， $b$ 为正奇数，且满足 $ab>1+\frac{3}{2} \pi$

（2）Weierstrass图像绘制

（3）步骤

（3.1）构造数据。设置参数 $a=0.3, b=7, n=200$ 。

（3.2）编写CostFunction结构体。

（3.3）构造一个求解非线性最小二乘法的Problem来进行未知数求解。

（4）总结

（4.1）利用ceres无法对非线性函数进行曲线拟合，如魏尔斯特拉斯函数。原因包括两点：函数无法进行微分求解和初始点难以选取。

（4.2）此处改为ceres对 $y=e^{ax^{2}+b}$ 函数进行曲线拟合，其中 $a=0.3, b=0.1$ 。该函数图如下所示：

Exp函数图

（4.3）可以采用三种方法对问题进行求解，即：在进行Problem构建时，采用AutoDiffCostFunction或NumericDiffCostFunction进行数值微分求解；当无法使用模板来创建costfunctor时，继承SizedCostFunction类来实现Problem。

1.3 单像空间后方交会问题

（1）共线方程

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x - x 0 = - f a 1 ( X - X s ) + b 1 ( Y - Y s ) + c 1 ( Z - Z s ) a 3 ( X - X s ) + b 3 ( Y - Y s ) + c 3 ( Z - Z s ), y - y 0 = - f a 2 ( X - X s ) + b 2 ( Y - Y s ) + c 2 ( Z - Z s ) a 3 ( X - X s ) + b 3 ( Y - Y s ) + c 3 ( Z - Z s ) (3)

$\begin{equation} \begin{split} \left\{ \begin{array}{} x-x_{0}=- f\frac{a_{1}(X-X_{s})+b_{1}(Y-Y_{s})+c_{1}(Z-Z_{s})}{a_{3}(X-X_{s})+b_{3}(Y-Y_{s})+c_{3}(Z-Z_{s})}, & \\ y-y_{0}=-f \frac{a_{2}(X-X_{s})+b_{2}(Y-Y_{s})+c_{2}(Z-Z_{s})}{a_{3}(X-X_{s})+b_{3}(Y-Y_{s})+c_{3}(Z-Z_{s})} \end{array} \right. \end{split}\tag{3} \end{equation}$

其中 $x_{0}, y_{0}, f$ 已知， $abc$ 为旋转矩阵，可以利用 $\phi, \omega, \kappa$ 表示如下：

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a 1 = c o s ϕ c o s κ - s i n ϕ s i n ω s i n κ, a 2 = - c o s ϕ s i n κ - s i n ϕ s i n ω c o s κ, a 3 = - s i n ϕ c o s ω, b 1 = c o s ω s i n κ, b 2 = c o s ω c o s κ, b 3 = - s i n ω, c 1 = s i n ϕ c o s κ + c o s ϕ s i n ω s i n κ, c 2 = - s i n ϕ s i n κ + c o s ϕ s i n ω c o s κ, c 3 = c o s ϕ c o s ω (4)

$\begin{equation} \begin{split} \left\{ \begin{array}{} a_{1}=cos\phi cos\kappa -sin\phi sin\omega sin\kappa, & \\ a_{2}=-cos\phi sin\kappa -sin\phi sin\omega cos\kappa, & \\ a_{3}=-sin\phi cos\omega, & \\ b_{1}=cos\omega sin\kappa, & \\ b_{2}=cos\omega cos\kappa, & \\ b_{3}=-sin\omega, & \\ c_{1}=sin\phi cos\kappa +cos\phi sin\omega sin\kappa, & \\c_{2}=-sin\phi sin\kappa +cos\phi sin\omega cos\kappa, & \\ c_{3}=cos\phi cos\omega \end{array} \right. \end{split}\tag{4} \end{equation}$

（2）步骤

（2.1）读入数据，格式为 $(x, y, X, Y, Z)$ 。前2维像素坐标—单位 $mm$ ，后三维代像坐标—单位 $m$ 。

（2.2）编写CostFunction结构体。

（2.3）构造一个求解非线性最小二乘法的Problem来进行未知数求解。

（3）运行结果

Photogrammetry

1.4 Powell’s Quartic Function

（1）数学表达式

\begin{matrix} (5) & f (X) = {(x_{1} + 10 x_{2})}^{2} + 5 {(x_{3} - x_{4})}^{2} + {(x_{2} - 2 x_{3})}^{4} + 10 {(x_{1} - x_{4})}^{4} \end{matrix}

$f(X)=\left(x_1+10x_2\right)^2+5\left(x_3-x_4\right)^2+\left(x_2-2x_3\right)^4+10\left(x_1-x_4\right)^4\tag{5}$

其中：

$\bullet -10\leq x_i\leq 10, i=1,2,3,4$

$\bullet f_{min}(X^*)=0$

$\bullet x^*_i=0$

（2）Powell’s Quartic Function分解

f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) f 4 (x) F (x) = x 1 + 10 x 2 = 5 ‾ \sqrt (x 3 - x 4) = (x 2 - 2 x 3) 2 = 10 ‾ ‾ ‾ \sqrt (x 1 - x 4) 2 = [f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x), f 4 (x)] (6)

$\begin{equation} \begin{split} f_{1}(x)&=x_{1}+10x_{2} \\ f_{2}(x)&=\sqrt{5}(x_{3}-x_{4}) \\ f_{3}(x)&=(x_{2}-2x_{3})^{2} \\ f_{4}(x)&=\sqrt{10}(x_{1}-x_{4})^{2} \\ F(x)&=[f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x)] \end{split} \end{equation}\tag{6}$

（3）最优化问题数学描述

arg min x 1 2 ‖ F (x) ‖ 2 (7)

${\arg \min}_{x} \frac{1}{2} \|F(x)\|^{2}\tag{7}$

（4）步骤

（4.1）编写CostFunction结构体。

（4.2）构造一个求解非线性最小二乘法的Problem来进行未知数求解。

（5）运行结果

Powell

1.5 Bundle Adjustment

（1）BA数据集

Bundle Adjustment in the Large

备注：此处使用Ladybug Dataset：problem-49-7776-pre.txt.bz2

（2）BA问题

ceres solver学习之bundle adjustment

Bundle Adjustment Projection Error