一、定义与方程
定 义 : 到 定 点 F ( p 2 , 0 ) 和 直 线 x = − p 2 距 离 相 等 的 运 动 轨 迹 ， F 点 被 称 为 焦 点 ， 直 线 被 称 为 准 线 定义:到定点F(\frac{p}{2},0)和直线x=-\frac{p}{2}距离相等的运动轨迹，F点被称为焦点，直线被称为准线 定义:到定点F(2p,0)和直线x=−2p距离相等的运动轨迹，F点被称为焦点，直线被称为准线
方 程 ： y 2 = 2 p x 方程：y^2=2px 方程：y2=2px
二、切线方程
已 知 抛 物 线 方 程 ： y 2 = 2 p x 以 及 曲 线 上 一 点 P ( x 0 , y 0 ) ， 求 过 P 点 的 切 线 方 程 已知抛物线方程：y^2=2px以及曲线上一点P(x_0, y_0)，求过P点的切线方程 已知抛物线方程：y2=2px以及曲线上一点P(x0,y0)，求过P点的切线方程
解 ： 方 程 两 边 对 x 求 导 ： 2 y y ′ = 2 p ， 设 切 线 上 动 点 M ( x , y ) 解：方程两边对x求导：2yy^{'}=2p，设切线上动点M(x,y) 解：方程两边对x求导：2yy′=2p，设切线上动点M(x,y)
则 y ′ ∣ x 0 = k M P = y − y 0 x − x 0 则y'|_{x_0}=k_{MP}=\frac{y-y_0}{x-x_0} 则y′∣x0=kMP=x−x0y−y0
带 入 上 式 得 ： y 0 y − y 0 x − x 0 = p 带入上式得：y_0\frac{y-y_0}{x-x_0}=p 带入上式得：y0x−x0y−y0=p
整 理 得 y 0 y = p ( x + x 0 ) ， 即 为 切 线 方 程 整理得y_0y=p(x+x_0)，即为切线方程 整理得y0y=p(x+x0)，即为切线方程
三、光学性质
抛物线光学性质：从焦点发出的光学经过反射后，平行与焦点到准线的垂线
问题 : 已 知 抛 物 线 ： y 2 = 2 p x 的 焦 点 B ( p 2 , 0 ) ， A 为 抛 物 线 上 任 意 一 点 ( x 0 , y 0 ) , A G 为 A B 关 于 过 A 点 切 线 D F 的 反 射 线 ， 即 ∠ B A D = ∠ F A G 求 证 : A G / / D B 已知抛物线：y^2=2px的焦点B(\frac{p}{2},0)，A为抛物线上任意一点(x_0,y_0),AG为AB关于过A点切线DF的反射线，即\angle{BAD}=\angle{FAG}\\求证:AG // DB 已知抛物线：y2=2px的焦点B(2p,0)，A为抛物线上任意一点(x0,y0),AG为AB关于过A点切线DF的反射线，即∠BAD=∠FAG求证:AG//DB
证明： 过 A 点 的 切 线 D F 方 程 为 ： y 0 y = p ( x + x 0 ) ， 令 y = 0 ， 得 到 D 点 坐 标 ( − x 0 , 0 ) , 又 ∵ B ( p 2 , 0 ) , ∴ D B = x 0 + p 2 而 根 据 抛 物 线 性 质 ， A B 等 于 A 到 x = − p 2 的 距 离 ， 即 A B = x 0 + p 2 = D B ∴ △ A B D 为 等 腰 三 角 形 ， 即 ∠ B D A = ∠ B A D = ∠ F A G ∴ A G / / D B 过A点的切线DF方程为：y_0y=p(x+x_0)，令y=0，得到D点坐标(-x_0,0),\\又\because B(\frac{p}{2},0),\therefore DB=x_0+\frac{p}{2} \\而根据抛物线性质，AB等于A到x=-\frac{p}{2}的距离，即AB=x_0+\frac{p}{2}=DB\\\therefore \triangle ABD为等腰三角形，即\angle BDA =\angle BAD=\angle{FAG}\\\therefore AG//DB 过A点的切线DF方程为：y0y=p(x+x0)，令y=0，得到D点坐标(−x0,0),又∵B(2p,0),∴DB=x0+2p而根据抛物线性质，AB等于A到x=−2p的距离，即AB=x0+2p=DB∴△ABD为等腰三角形，即∠BDA=∠BAD=∠FAG∴AG//DB
四、性质和结论
离心率（ e = c a = 1 e=\frac{c}{a}=1 e=ac=1）
通径（ d = 2 e p = 2 p d=2ep=2p d=2ep=2p)
焦半径（ r = x + p 2 或 者 e p 1 − e c o s θ ( θ 为 点 到 焦 点 与 x 轴 正 方 向 夹 角 ) r=x+\frac{p}{2}或者\frac{ep}{1-ecos\theta}(\theta为点到焦点与x轴正方向夹角) r=x+2p或者1−ecosθep(θ为点到焦点与x轴正方向夹角)）
特殊点
已 知 抛 物 线 y 2 = 2 p x 已知抛物线y^2=2px 已知抛物线y2=2px
1. 直 线 l 与 抛 物 线 交 于 A ( x 1 , y 1 ) ， B ( x 2 , y 2 ) 两 点 ， 则 A B 与 x 轴 交 于 ( a , 0 ) ， a = − y 1 y 2 2 p 直线l与抛物线交于A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)两点，则AB与x轴交于(a, 0)，a=-\frac{y_1y_2}{2p} 直线l与抛物线交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，则AB与x轴交于(a,0)，a=−2py1y2
证 明 ： 设 A ( y 1 2 2 p , y 1 ) , B ( y 1 2 2 p , y 1 ) ， 用 两 点 式 列 出 直 线 方 程 ， 再 把 ( a , 0 ) 带 入 ， 解 出 a 证明：设A(\frac{y_1^2}{2p}, y_1),B(\frac{y_1^2}{2p}, y_1)，用两点式列出直线方程，再把(a,0)带入，解出a 证明：设A(2py12,y1),B(2py12,y1)，用两点式列出直线方程，再把(a,0)带入，解出a
2. 上 面 情 况 下 ， 如 果 O A ⃗ ⊥ O B ⃗ , 则 A B 与 x 轴 交 于 ( 2 p , 0 ) 上面情况下，如果\vec{OA}\perp\vec{OB},则AB与x轴交于(2p,0) 上面情况下，如果OA⊥OB,则AB与x轴交于(2p,0)
证 明 ： 设 A ( y 1 2 2 p , y 1 ) , B ( y 1 2 2 p , y 1 ) ， 带 入 O A ⃗ ⊥ O B ⃗ ， 解 得 y 1 y 2 = − 4 p 2 ， ∴ a = 2 p 证明：设A(\frac{y_1^2}{2p}, y_1),B(\frac{y_1^2}{2p}, y_1)，带入\vec{OA}\perp\vec{OB}，解得y_1y_2=-4p^2，\therefore a=2p 证明：设A(2py12,y1),B(2py12,y1)，带入OA⊥OB，解得y1y2=−4p2，∴a=2p
3. 特殊点 P ( p , 0 ) P(p,0) P(p,0)
性质
在 O P 线 段 间 任 取 一 点 Q ， 则 抛 物 线 上 到 Q 最 近 的 点 必 为 O 在OP线段间任取一点Q，则抛物线上到Q最近的点必为O 在OP线段间任取一点Q，则抛物线上到Q最近的点必为O
证明
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ &证明：等价于证明在x轴正方…
4. 切线
性质：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ &过焦点F(\frac{p}…
证明：
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