零、前言
本文是笔者基于自己的水平浅显总结的一些性质，因而一些最基本的知识没有包含
一、不定积分
1. 换积分
对含三角与非三角的积分式，可以思考利用换积分与三角恒等式( sin 2 x + cos 2 x = 1 \sin^2x + \cos^2x = 1 sin2x+cos2x=1 和 tan 2 x + 1 = sec 2 x \tan^2x+1=\sec^2 x tan2x+1=sec2x)去进行积分化简。
例如：
∫ sin 3 x ⋅ cos 5 x d x = − ∫ sin 2 x ⋅ cos 5 x d cos x = − ∫ ( 1 − cos 2 x ) ⋅ cos 5 x d cos x = ∫ ( cos 7 x − cos 5 x ) d cos x \begin{align} \int \sin^3x \cdot \cos^5x\ dx = & -\int \sin^2x \cdot \cos^5x\ d\cos x \\ =&-\int(1 - \cos^2x) \cdot \cos^5x \ d\cos x \\ =&\int (\cos^7x\ -\cos^5x) \ d\cos x \end{align} ∫sin3x⋅cos5x dx===−∫sin2x⋅cos5x dcosx−∫(1−cos2x)⋅cos5x dcosx∫(cos7x −cos5x) dcosx
之后的积就比较容易求得了
另外就是针对非三角函数转化为三角函数的换变换，比较常用的变换如下：
- a 2 − x 2 \sqrt{a^2-x^2} a2−x2 => x = a ⋅ sin t x = a \cdot \sin t x=a⋅sint
- x 2 − a 2 \sqrt{x^2-a^2} x2−a2 => x = a ⋅ sec t x=a \cdot \sec t x=a⋅sect
- x 2 + 1 x^2 +1 x2+1 => x = tan t x=\tan t x=tant
(这里反三角的换也比较容易想到就没有写上去了)
2. 分部积分
分部积分的主要思路是利用三角函数的求导周期性，或者说是利用了三角函数的这个性质： sin ( n ) x = s i n ( x + π 2 ⋅ n ) \sin^{(n)} x =sin(x+\frac{\pi}{2} \cdot n) sin(n)x=sin(x+2π⋅n)，这样做两次求导可以认为 sin x \sin x sinx “回来了”，在题目中可以多次分部然后结合加减去求，其次配上有求导不变性的 e x e^x ex 可能另有一番变化
例如：
∫ e x cos x d x = ∫ e x d sin x = e x sin x − ∫ sin x d e x = e x sin x − ( − e x cos x − ∫ ( − cos x ) ⋅ e x d x ) = e x sin x + e x cos x − ∫ e x cos x d x 因此有结论 ∫ e x cos x d x = e x 2 ( sin x + cos x ) + C \begin{align} \int e^ x \cos x\ dx=&\int e^ x \ d\sin x \\ =&e^ x\sin x-\int \sin x\ de^ x \\ =&e^ x \sin x-(-e^ x\cos x - \int (-\cos x)\cdot e^ x\ dx)\\ =&e^ x \sin x+ e^ x\cos x - \int e^ x\cos x\ dx \\ 因此有结论 \int e^ x\cos x\ dx=&\frac{e^ x}{2}(\sin x+\cos x)+C \end{align} ∫excosx dx====因此有结论∫excosx dx=∫ex dsinxexsinx−∫sinx dexexsinx−(−excosx−∫(−cosx)⋅ex dx)exsinx+excosx−∫excosx dx2ex(sinx+cosx)+C
注：由于利用到 sin x \sin x sinx的求导周期性，因而考虑将 sin x \sin x sinx再转化到微分对象的位置上而不是比较好放的 e x e^ x ex
3. 配项积分
配项积分在三角函数和平方差公式（根式）形式的积分中还是个很不错的思路
例如：
求 I = ∫ cos 4 x d x I=\int \cos^4 x\ dx I=∫cos4x dx
常规思路： cos 2 x \cos^2 x cos2x可以进行降幂操作，降完又得到一个平方再进行展开即可，不过利用配项积分，做法上会简化很多。
4. 万能公式
万能公式对于同次但是含有常数不好化简的分式可能有奇用
万能公式如下：
- sin α = 2 tan α 2 1 + tan 2 α 2 \sin \alpha=\frac{2\tan \frac{\alpha}{2}}{1+\tan ^2\frac{\alpha}{2}} sinα=1+tan22α2tan2α
- cos α = 1 − tan 2 α 2 1 + tan 2 α 2 \cos \alpha=\frac{1-\tan ^2\frac{\alpha}{2}}{1+\tan ^2 \frac{\alpha}{2}} cosα=1+tan22α1−tan22α
- tan α = 2 tan α 2 1 − tan 2 α 2 \tan \alpha=\frac{2\tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan^ 2\frac{\alpha}{2}} tanα=1−tan22α2tan2α
注：类似于 sec x 、 csc x 等三角函数的万能公式可以用上述基本公式进行推导因而没有附出 \sec x、\csc x 等三角函数的万能公式可以用上述基本公式进行推导因而没有附出 secx、cscx等三角函数的万能公式可以用上述基本公式进行推导因而没有附出
二、定积分
1. 点火公式
点火公式即著名的华里士公式，注意其积分域为 [ 0 , π 2 ] [0,\frac{\pi}{2}] [0,2π]
记 I n = ∫ 0 π 2 sin n x d x I_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^ nx\ dx In=∫02πsinnx dx
那么有 I n = n − 1 n I n − 2 I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2} In=nn−1In−2
如果点到1，那么尾乘上 π / 2 \pi/2 π/2，反之点火失败
2. 积分域一些关系
- f ( x ) ∈ [ 0 , 1 ] ，则 ∫ 0 π 2 f ( sin x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( cos x ) d x f(x)\in [0,1]，则\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)\ dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)\ dx f(x)∈[0,1]，则∫02πf(sinx) dx=∫02πf(cosx) dx
- ∫ 0 π x f ( sin x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( sin x ) d x \int_0^{\pi}xf(\sin x)\ dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(\sin x)\ dx ∫0πxf(sinx) dx=2π∫0πf(sinx) dx
- ∫ 0 π 2 f ( sin x ) d x = ∫ π 2 π f ( sin x ) d x = 1 2 ∫ 0 π f ( sin x ) d x \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)\ dx=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}f(\sin x)\ dx=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}f(\sin x)\ dx ∫02πf(sinx) dx=∫2ππf(sinx) dx=21∫0πf(sinx) dx
- ∫ 0 π f ( cos x ) d x , 若 f 为奇函数则为 0 ，为偶函数则为 2 ∫ 0 π / 2 f ( cos x ) d x \int_0^\pi f(\cos x)\mathrm{d}x,若f为奇函数则为0，为偶函数则为2\int_0^{\pi/2}f(\cos x )\mathrm{d}x ∫0πf(cosx)dx,若f为奇函数则为0，为偶函数则为2∫0π/2f(cosx)dx
- ∫ 0 2 π f ( sin x ) d x = ∫ 0 2 π f ( cos x ) d x , 若 f 为奇函数 , 则为 0 ，偶函数则为 4 ⋅ ∫ 0 π / 2 f ( sin x ) d x \int_0^{2\pi}f(\sin x)\mathrm{d}x=\int_0^{2\pi}f(\cos x)\mathrm{d}x,若f为奇函数,则为0，偶函数则为4\cdot\int_0^{\pi/2}f(\sin x)\mathrm{d}x ∫02πf(sinx)dx=∫02πf(cosx)dx,若f为奇函数,则为0，偶函数则为4⋅∫0π/2f(sinx)dx
3. 三角函数内转换
目前做题目还没有用到那么多，这里主要就是反三角的一些关系或者是逆用合角公式之类，目前笔者用到的如下：
6. tan ( a + b ) = tan a + tan b 1 − tan a tan b \tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b} tan(a+b)=1−tanatanbtana+tanb (这个当时搞竞赛用的多些，考研题好像到现在还没咋刷到)
7. arcsin a + arccos a = π 2 \arcsin a+\arccos a=\frac{\pi}{2} arcsina+arccosa=2π
8. 之后找到再补充吧…(广告位招租^ ^)
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