对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数。所谓的对勾函数，是形如
f(x)=ax+b/x
的函数，是
一种教材上没有但考试老喜欢考的函数，
所以更加要注意和学习。
一般的函数图像形似两个中心对称的
对勾，
故名。
当
x>0
时，
f(x)=ax+b/x
有最小值
(这里为了研究方便，
规定
，
0
)
，
也就是当
x=sqrt(b/a)
的时候
(
sqrt
表示求二次方根)
。同时它是奇函数，
就可以推导出
x<0
时的性质。
令
k=sqrt(b/a)
，
那么，
增区间：
{x|x≤
-k}
∪
{x|x≥k}
；减区间：
{x|-
k≤x<0}
∪
{x|0
。由单调区间可见，它的变化趋势是：在
y
轴左边，增减，在
y
轴右边，减增，是两个勾。
对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
说到均值不等式，
其实也是根据二次函数得来的。
我们都
知道，
(a-
b)2≥0
，展开就是
a2-
2ab+b2≥0
，有
a2+b2≥2ab
，两边同时加上
2ab
，整理得到
(a+b)2≥4ab
，
同时开根号，就得到了平均值定理的公式：
a+b≥2sqrt(ab)
。现在把
ax+b/x
套用这个公式，得到
ax+b/x≥2sqrt(axb/x)
＝
2sqrt(ab)
，这里有个规定：当且仅当
ax=b/x
时取到最小值，解出
x=sqrt(b/a)
，
对应的
f(x)=2sqrt(ab)
。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：
(a+b)/2≥sqrt(ab)
，前式大家都
知道，
是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，
前面的称为算术平均
数，
而后面的则称为几何平均数，
总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。
这些知识点也是
非常重要的。
其实用导数也可以研究对勾函数的性质。
不过首先要会负指数幂的换算，
这也很简单，
但要熟练掌
握。举几个例子：
1/x=x-1
，
4/x2=4x-2
。明白了吧，
x
为分母的时候可以转化成负指数幂。那么就有
f(x)=ax+b/x=ax+bx-1
，求导方法一样，求的的导函数为
a+(-b)x-2
，令
f'(x)=0
，计算得到
b=ax2
，结果
仍然是
x=sqrt(b/a)
，如果需要的话算出
f(x)
就行了。平时做题的时候用导数还是均值定理，就看你喜欢
用那个了。不过注意均值定理最后的讨论，有时
ax≠b/x
，就不能用均值定理了。
上述研究都是建立在
x>0
的基础上的，不过对勾函数是奇函数，所以研究出正半轴图像的性质后，
自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题(图像不再规则)
，就先用平移公式或我总结出的平移
规律还原以后再研究，这个能力非常重要，一定要多练，争取做到特别熟练的地步。
对勾函数实际是反比例函数的一个延伸，至于它是不是双曲线还众说不一。
当
x>0
时，
f(x)=ax+b/x
有最小值
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