*本文中的初中均指 $7-8$ 年级

简要概述

初中好像只涉及欧式几何，所以本文不包含非欧几何的内容。初中几何多为证明题，故本文基本只涉及一些简单证明。

证明有许多方法，多用反证法等，常用已知的结论推导未知，常用逆向思维等。

一些公理

主要有用的是以下几种：

$$\{\begin{array}{c}\\ \text{直线公理：即两点确定一条直线}\\ \text{线段公理：即两点之间线段最短}\\ \text{平行公理：对于同个面上的一条直线 ab 和一个点 A，}\\ \text{有且仅有一条直线过点 A 且平行于直线 ab}\end{array}$$

其中也可以引出几个简单证明题：

例 1.1

证明，在三角形中，两边之和大于第三边，即 $AC+CB>AB$。
考虑第二条公理，即线段公理，点 $A$ 与点 $B$ 之间最短距离即为 $AB$，那么第二条路径即 $AC+CB$ 必然大于 $AB$。

例 1.2

证明，两直线只有一个交点。

考虑使用反证法：

假设两直线之间有 $2$ 个交点。那么根据直线公理，两点确定一条直线，那么这两条直线必然重合，与“两条直线”这个条件相矛盾，假设不成立。故得证。

平行线的性质与判定

要了解平行线的性质，首先要了解四种角：

• 同位角：即为 $\angle 1$ 与 $\angle 5$
• 内错角：即为 $\angle 3$ 与 $\angle 5$
• 同旁内角：即为 $\angle 4$ 与 $\angle 5$
• 对顶角：即为 $\angle 1$ 与 $\angle 3$（对顶角相等）
  同位角的定义：

内错角的定义：

同旁内角定义：

在两条直线平行的情况下，这几种角有这几种重要性质：

• 同位角相等
• 内错角相等
• 同旁内角互补

互补，即为两角和为 $180°$；互余，即两角和为 $90°$。

至于证明第二以及第三条，证明过程是极其平凡的：

证明第二条：

由于 $\angle 1=\angle 5$，$\angle 1$ 与 $\angle 3$ 是对顶角，那么 $\angle 1=\angle 3=\angle 5$。

证明第三条：

由于 $\angle 1=\angle 5$，$\angle 4=180°-\angle 1$，那么 $\angle 5=180-\angle 1$，把 $\angle 1$ 移过去即可。

全等三角形

全等三角形的性质

已知 $△abc\cong △a^{\prime }{b}^{\prime }{c}^{\prime }$（$\cong$ 是全等于的意思）
那么：

1. 两个三角形对应角相等
2. 三边相等
3. 面积相等

对于证明第三个性质，由于三边相等（设三边长为 $A,B,C$），根据海伦公式，面积都为 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中 $p=(a+b+c)/2$。

全等三角形的判定

1. SSS（边边边），即三边相等
2. SAS（边角边），两三角形对应的两边及两边夹角相等
3. ASA（角边角），两角及其夹边相等
4. AAS（角角边），两角相等，以及其中一角的对边相等
   还有一种较为特殊，即为 SSA（边边角） 即为有一角相等，其对边与相邻一边相等，这种情况下，只有在角是直角的情况下才为全等三角形。

关于判定的证明/推导过程

AAA（即三角相等）

AAA 是不能证明的，那么是为什么呢。

如图，在线段 $CB$ 上任取一点 $B^{\prime }$，过 $B^{\prime }$ 做 $B^{\prime }{A}^{\prime }//BA$，与 $AC$ 交于点 $A^{\prime }$，根据平行线的性质易知 $△ABC$ 与 $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 满足 AAA，但并不全等。

SS（即两条对应边相等）

SS 显然不行。

如图，以 $C$ 为圆心，$AC$ 为半径画圆，在圆弧上任取一点 $A^{\prime }$，连接 $A^{\prime }C$ 与 $A^{\prime }B$，即为一个新的三角形，得到 $△ABC$ 与 $△A^{\prime }BC$ 满足条件，但不全等。

SSS（即三条对应边相等）

SSS 是可以的。尝试在 SS 上增加条件。

若要在满足条件的情况下画出所有可能三角形，考虑画两段弧线（圆），找到两弧（圆）的交点，即交轨法。易得，两弧（圆）只有一（两）个交点，如果是两个交点，则两交点较 $BC$ 对称。

SAS（即两边和它们的夹角相等）

SAS 是公理，但也可以证明。其实可以用余弦定理证明，在此不做介绍。

确定 $\angle B$ 之后，在两条射线上以 $BA$ 和 $BC$ 为半径画弧，其交点是唯一的。

SSA（即边边角）

SSA 是不行的。建议先想想为什么。

易得 $A,B$ 点是确定的，那么以 $AC$ 为半径画弧。在弧上任取一点 $C^{\prime }$，易得 $△AB{C}^{\prime }$ 也符合条件，三角形不唯一。

ASA/AAS（即两角与其夹边相等/两角和其中一角对边对应相等）

三角形内角和即可证明。

关于全等三角形的一些简单证明题

例2.1

已知 $b=c$，求证 $\angle B=\angle C$。

连接 $A$ 与 $BC$ 的中点 $O$，那么可知：

• AB=AC
• AO=AO
• OB=OC

即为三边相等，那么 $△AOB\cong △AOC$，根据全等三角形性质，三个角均相等，故 $\angle B=\angle C$。

例 2.2

对于三角形的每个角做角平分线，证明其三线共点。

我们先画出 $\angle A$ 与 $\angle B$ 的角平分线，设其相交于 $O$ 点，然后连接 $CO$，现在我们只需证明 $CO$ 为 $\angle C$ 的角平分线即可。

自O点作三边的垂线交三边于 $D,M,N$，则 $OD=OM=ON$，则 $OC$ 平分 $\angle C$,所以三角形三条角平分线交于一点。

例 2.3

本题证明比较长，故当成思考题。

沿用刚才的图，求证 $△AOC\cong △AOB$。

例2.4

两次证明全等题。
如图，已知 $AC=BC$，$BD$ 是 $\angle ABC$ 的角平分线。求证 $\angle DAE=\angle DCE$。

证：
$\because BD$ 平分 $\angle ABC$
$\therefore \angle ABD=\angle DBC$
在 $△ADB$ 与 $△BCD$ 中：
$$\because \{\begin{array}{c}\\ \text{AB=CB}\\ \text{∠ABD=∠DBC=CB}\\ \text{BE=BE}\end{array}$$
$\therefore △ABD\cong △CBE$
同理，$△ABD\cong CBE$
$\therefore \angle BAE=\angle BCE$
$\angle BAD=\angle BCD$
作差 $\angle DAE=\angle DCE$

接下来是一些一些稍微难一点难的证明题（其实还是挺简单的）

例 2.5

如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD//BC$，$\angle ABC=\angle DCB$，$AB=CD$，$E,F$，分别是 $AB,CD$ 的中点， $CE,BF$ 相交于 $O$，连接 $OA$，$OD$，求证：$OA=OD$。

简要的来说，先通过 $\angle ABC=\angle DCB$，$BC=BC$，$EB=FC$$（AB/2=DC/2）$，得出 $△EBC\cong △FBC$。通过这个条件，得出 $CO=BO$，然后便可以通过 $CO=BO$，$AB=DC$，
$\angle DCO=\angle ABO(\angle DCB=\angle ABO,\angle ECB=\angle FBC,\angle DCB-ECB=\angle ABO-FBC,\angle DCO=\angle ABO)$，得出 $△DOC\cong △AOB$，$AO=DO$。

例 2.6

证明三角形中，等边对等角。

已知 $AB=AC$，求证 $\angle B=\angle C$。

证：做 $AD\perp BC$
在 $△ABD$ 和 $△ADC$ 中，
$AB=AC,AD=AD,\angle D=90°$
$△ABD\cong △ADC$(HL)
$\angle B=\angle C$

例 2.7

如图，点 $D$ 在线段 $AB$ 上，点 $E$ 在线段 $AC$ 上线段 $CD$ 交线段 $BE$ 与点 $O$，已知 $BD=CE,\angle B=\angle C$，求证 $AD=AE$。

证：
在 $△BOD$ 与 $△COE$ 中：

$$\angle 1=\angle 2$$$$\angle B=\angle C$$$$BD=CE$$ $$\angle BOD\cong \angle COE$$$$DO=CO,OD=OE,BO+OE=CO+OD.BE=CO$$
在 $△ACD$ 和 $△ABE$ 中：
$$\angle C=\angle B$$$$\angle CAD=\angle BAE$$$$CD=BE$$$$△ACD\cong △ABE$$$$AD=AE$$

相似三角形

相似三角形的性质

1.$\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}=n:1$
2.$S_{△ABC}:S_{△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=n^2:1$

相似三角形的判定

1. SSS（边边边），即三边对应成比例
2. SAS（边角边），两三角形对应的两边及两边夹角成比例
3. AA，两角相等

一些简单证明

例 3.1

$AB//CD$，求证 $△ABE\backsim △CDE$。

根据平行线性质,.$\angle A=\angle C$，$\angle B=\angle D$（内错角相等），而 $\angle AEB=\angle DEC$（对顶角相等），所以 $△ABE\backsim △CDE$

例3.2

相似三角形性质证明勾股定理。

如下图所示，在直角三角形 $ABC$ 中，过 $A$ 点作 $AB$ 垂直于 $DC$，交 $AB$ 于 $B$ 点。

$\because \angle BDC=\angle BCA=90°$

$\therefore △BDC\backsim △BCA$

$\therefore BD:BC=BC:BA$

$\therefore B{C}^2=BD•BA$

同理可得 $A{C}^2=AD•AB$

$\therefore B{C}^2+A{C}^2=BD•BA+AD•AB=(BD+AD)•AB=A{B}^2$,即 $a^2+b^2=c^2$

今天的文章 7年级和8年级几何知识简要概述分享到此就结束了，感谢您的阅读。