双勾函数是什么？

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写在前面

最近发现做啥题都离不开双勾函数，不管是初中还是高中，它都与我们形影不离。尤其是不等式里运用得特别多，因为它的值域特点和增减区间还是比较鲜明。双勾函数虽然在教材中并没有，但是考得特别频繁，今天就来说说什么是双勾函数。

一、双勾函数的定义

双勾函数（对勾函数）是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，是形如 $f(x)=ax+\dfrac{b}{x}\ (ab＞0)$ 的函数。最常见的双勾函数是 $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ 。不过一定要注意， $a, b$ 必须同号，如果异号就不是双勾函数。

二、双勾函数的性质

1.双勾函数的图象

双勾函数当 $a, b$ 为正数时，大概是这样的：

双勾函数范例
当然，如果 $a, b$ 都是负数，也可以是这样的：

双勾函数范例2

1.1 渐近线

双勾函数的图象以 $y$ 轴和 $y = a x$ 为渐近线。

1.2 转折点

若 $a>0,\ b>0$ ，在第一象限内，转折点为 $\bigg(\sqrt{\dfrac{b}{a}},2\sqrt{ab}\bigg)$ ；在第三象限内，转折点为 $\bigg(-\sqrt{\dfrac{b}{a}},-2\sqrt{ab}\bigg)$

若 $a<0,\ b<0$ ，在第一象限内，转折点为 $\bigg(-\sqrt{\dfrac{b}{a}},2\sqrt{ab}\bigg)$ ；在第三象限内，转折点为 $\bigg(\sqrt{\dfrac{b}{a}},-2\sqrt{ab}\bigg)$

转折点可以通过导数求得。
$f(x)=ax+\dfrac{b}{x}=ax+bx^{-1}$ ，求导得 $f'(x)=a-\dfrac{b}{x^2}$
令 $f^{'} (x) = 0$ ，得 $x=\pm\sqrt{\dfrac{b}{a}}$
所以函数 $f(x)=ax+\dfrac{b}{x}$ 的转折点为 $\bigg(\sqrt{\dfrac{b}{a}},2\sqrt{ab}\bigg)$ 和 $\bigg(-\sqrt{\dfrac{b}{a}},-2\sqrt{ab}\bigg)$ 。

2. 双勾函数的定义域和值域

1. 定义域： $\{x |x\ne0\}$

2. 值域： $\big(-\infty,-\sqrt{ab}\big] \cup \big[\sqrt{ab},+\infty\big)$

求法很简单，大家可以自行推导。

3. 双勾函数的最值

$a>0,\ b>0$
- 当定义域为 $(0,+\infty)$ 时， $f(x)=ax+\dfrac{b}{x}\ (a>0,\ b>0)$ 在 $x=\sqrt{\dfrac{b}{a}}$ 处取最小值 $2\sqrt{ab}$
- 当定义域为 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ 时，函数无最值
- 当定义域为 $(-\infty,0)$ 时， $f(x)=ax+\dfrac{b}{x}\ (a>0,\ b>0)$ 在 $x=-\sqrt{\dfrac{b}{a}}$ 处取最大值 $-2\sqrt{ab}$
$a<0,\ b<0$
- 当定义域为 $(0,+\infty)$ 时， $f(x)=ax+\dfrac{b}{x}\ (a<0,\ b<0)$ 在 $x=\sqrt{\dfrac{b}{a}}$ 处取最大值 $-2\sqrt{ab}$
- 当定义域为 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ 时，函数无最值
- 当定义域为 $(-\infty,0)$ 时， $f(x)=ax+\dfrac{b}{x}\ (a<0,\ b<0)$ 在 $x=-\sqrt{\dfrac{b}{a}}$ 处取最小值 $2\sqrt{ab}$

双勾函数的最值，和均值不等式有着很紧密的联系。当 $a>0,\ b>0$ 时，在 $x > 0$ 时的最值，也就是双勾函数的极小值，利用均值不等式就可以得到： $ax+\dfrac{b}{x} \ge 2\sqrt{ax\cdot\dfrac{b}{x}}=2\sqrt{ab}$ 。当且仅当 $ax=\dfrac{b}{x}$ 即 $x=\sqrt{\dfrac{b}{a}}$ 时取到极小值。
同样地，由于双勾函数是奇函数，所以我们也能得到它的极大值，在 $x=-\sqrt{\dfrac{b}{a}}$ 处取到。
$a<0,\ b<0$ 的情况类似，就相当于在 $x > 0$ ， $a,\ b$ 值不变的基础上关于 $y$ 轴对称了一下，所以用 $- x$ 替换原来的 $x$ 就行了。

3. 奇偶性和单调性

奇偶性： 奇函数
单调增区间： $\bigg(-\infty,-\sqrt{\dfrac{b}{a}}\bigg]$ 和 $\bigg[\sqrt{\dfrac{b}{a}},+\infty\bigg)$

单调减区间： $\bigg(-\sqrt{\dfrac{b}{a}},0\bigg]$ 和 $\bigg[0,\sqrt{\dfrac{b}{a}}\bigg)$

后话

其实，双勾函数的图象也是双曲线，当然是可以通过一个平面截圆锥得到的，是不是很惊讶？

参考资料：对勾函数(数学函数) - 百度百科

今天的文章双勾函数是什么？分享到此就结束了，感谢您的阅读。