【数学分析02】不动点原理

编程基础 • 2024-12-08 23:01 • 阅读 10

数列的不动点原理（Fixed Point Theorem for Sequences）在数学分析中是一个重要的工具，用于研究数列收敛性的特性。具体来说，一个数列的“不动点”是指某个数列的一个值，当数列收敛时，其极限值就是这个不动点。

最常见的不动点原理是巴拿赫不动点定理（Banach Fixed Point Theorem），也称为收缩映射定理。其内容如下：

巴拿赫不动点定理：

设 $(X, d)$ 是一个非空的完备度量空间，并且 $\to X$ 是一个收缩映射，即存在一个常数 $\leq c < 1$ ，使得对于所有 $\in X$ ，都有

$\leq c \cdot d(x, y)$

则 $T$ 在 $X$ 中有唯一的不动点 $x^*$ ，即 $T(x^*) = x^*$ 。而且，对于任意 $x_0 \in X$ ，从 $x_0$ 开始构造的序列 ${x_n\}$ 满足

$x_{n+1} = T(x_n)$

则 ${x_n\}$ 收敛到 $x^*$ 。

应用举例：

假设我们有一个函数 $\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ 并且我们在实数空间 $\mathbb{R}$ 上考虑这个函数。我们想找到这个函数的一个不动点。

首先，我们验证 $T$ 是一个收缩映射：

$\left|\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}y + \frac{1}{2}\right)\right| = \left|\frac{1}{2}(x - y)\right| = \frac{1}{2}|x - y|$

这里，收缩常数 $\frac{1}{2} < 1$ ，因此 $T$ 是一个收缩映射。

根据巴拿赫不动点定理， $T$ 有唯一的不动点 $x^*$ ，满足 $T(x^*) = x^*$ 。

我们求解：

$x^* = \frac{1}{2}x^* + \frac{1}{2}$

移项得到：

$x^* - \frac{1}{2}x^* = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}x^* = \frac{1}{2}$

$x^* = 1$

因此，不动点是 $x^* = 1$ 。

我们可以构造一个数列来验证这个不动点：

设初始值 $x_0 = 0$ ，则数列 ${x_n\}$ 满足：

$x_{n+1} = T(x_n) = \frac{1}{2}x_n + \frac{1}{2}$

$x_1 = T(x_0) = \frac{1}{2}(0) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$x_2 = T(x_1) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$

$x_3 = T(x_2) = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{4}\right) + \frac{1}{2} = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} = \frac{7}{8}$

可以看到，数列 ${x_n\}$ 逐渐逼近 1，即数列 ${x_n\}$ 收敛到不动点 $x^* = 1$ 。

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