一.正弦函数图像

定义域: R
值域: [-1,1]
增区间: [-$\frac{\pi }{2}$+2kπ, $\frac{\pi }{2}$+2kπ] k$\in$ Z
减区间: [$\frac{\pi }{2}$+2kπ, $\frac{3\pi }{2}$+2kπ] k$\in$ Z
对称: x=$\frac{\pi }{2}$+kπ (k$\in$ Z)
中心对称: (kπ,0) \quad (k$\in$ Z)

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\quad

二.余弦函数图像

定义域: R
值域: [-1,1]
增区间: [π+2kπ, 2π+2kπ] k$\in$ Z
减区间: [2kπ, π+2kπ] k$\in$ Z
对称: x=kπ (k$\in$ Z)
中心对称: ($\frac{\pi }{2}$+kπ,0) \quad (k$\in$ Z)

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例题1: 点M($\frac{\pi }{2}$, -m)在函数y=$\sin x$的图像上, 则m等于__-1__

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例题2: 求函数f(x) = $\lg$ $\sin x$ + $\sqrt{16-x^2}$的定义域
依题意得:
$\sin x$>0
16-x² $\ge$ 0
解得:
x $\in$ [2kπ, π+2kπ] (k$\in$ Z)
x $\in$ [-4,4]
取交集
[-4,-π) $\cup$ (0,π)

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三.函数的周期性

一般地, 对于函数f(x), 如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值, 都有f(x+T) = f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数, 非零常数T叫做这个函数的周期

如果在周期函数f(x)的所有周期函数中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期
比如: f(x) = f(x+2π) + f(x+4π)…
最小正周期为2π

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例3: 若函数f(x)满足f(x-2) = f(x+3), 且f(2)=5, 求f(-3)
当x为-1时, f(-3) = f(2) = 5

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四.三角函数的周期性

正弦函数是周期函数, 2kπ (k$\in$z, 且k≠0)都是它的周期, 最小正周期是2π, 类似地, 余弦函数的周期最小正周期也是2π

由图可见, y=$\sin 2x$相当于y=$\sin x$压缩了, 周期变为π

由图可见, y=$\sin \frac{1}{2}x$相当于y=$\sin x$拉伸了, 周期变为4π

由上可得三角函数最小正周期 T=$\frac{2\pi }{|w|}$

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五.三角函数的奇偶性

由诱导公式$\sin (-x)$ = - $\sin x$ 正弦函数为奇函数;
$\cos (-x)$ = $\cos x$ 余弦函数为偶函数

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例题4: 判断奇偶性
(1) f(x) = $\sqrt{2}$ $\sin 2x$
f(-x) = $\sqrt{2}$ $\sin 2(-x)$ = - $\sqrt{2}$ $\sin 2x$ = - f(x)
$\therefore$ 为奇函数
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(2) f(x) = $\sin (\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}\pi )$
f(x) = $\sin (\frac{3}{4}x-\frac{\pi }{2})$ = -$\sin (\frac{\pi }{2}-\frac{3}{4}x)$ = - $\cos \frac{3}{4}x$
$\therefore$ 为偶函数

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六.三角函数的单调性

y = $\sin x$
增区间: [-$\frac{\pi }{2}$+2kπ, $\frac{\pi }{2}$+2kπ] k$\in$ Z
减区间: [$\frac{\pi }{2}$+2kπ, $\frac{3\pi }{2}$+2kπ] k$\in$ Z

\quad
y = $\cos x$
增区间: [π+2kπ, 2π+2kπ] k$\in$ Z
减区间: [2kπ, π+2kπ] k$\in$ Z

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例题5: 判断大小
(1) $\sin (-\frac{\pi }{18})$与$\sin (-\frac{\pi }{10})$
$\because$ $\sin x$在[-$\frac{\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}$]为增函数
$\sin (-\frac{\pi }{18})$与$\sin (-\frac{\pi }{10})$在[-$\frac{\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}$]之间
且$-\frac{\pi }{10}$小于$-\frac{\pi }{18}$
$\therefore$ $\sin (-\frac{\pi }{18})$> $\sin (-\frac{\pi }{10})$
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(2) $\cos (-\frac{23\pi }{5})$与$\cos (-\frac{17\pi }{4})$
$\cos (-\frac{23\pi }{5})$ = $\cos (-\frac{23\pi }{5}+2\pi )$ = $\cos (-\frac{3\pi }{5})$

$\cos (-\frac{17\pi }{4})$ = $\cos (-\frac{17\pi }{4}+4\pi )$ = $\cos (-\frac{\pi }{4})$
$\because$ $\cos x$在[-π, 0]为增函数
$\cos (-\frac{3\pi }{5})$与$\cos (-\frac{\pi }{4})$在[-π, 0]内
且$-\frac{3\pi }{5}$ < $-\frac{\pi }{4}$
$\therefore$ $\cos (-\frac{23\pi }{5})$ < $\cos (-\frac{17\pi }{4})$

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例题6: 求函数y=$\sin (\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{3})$, x$\in$ [-2π, 2π] 的单调递增区间
解:
π+2kπ < $\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{3}$ < 2π+2kπ
-$\frac{5\pi }{3}$+4kπ < x < $\frac{\pi }{3}$+4kπ
只有[-$\frac{5\pi }{3}$, $\frac{\pi }{3}$] $\subset$ [-2π, 2π]
$\therefore$ 函数y=$\sin (\frac{1}{2}x+\frac{\pi }{3})$的单调递增区间为[-$\frac{5\pi }{3}$, $\frac{\pi }{3}$]

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例题7: 函数f(x) = $\sqrt{3}$ $\sin (\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4})$, x$\in$R 的最小正周期为____
f(x) = $\sqrt{3}$ $\sin [\frac{1}{2}(x-\frac{\pi }{2})]$
能影响周期的只有$\frac{1}{2}$
根据公式T=$\frac{2\pi }{|w|}$
解得最小正周期为4π

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例题8: 判断[$\frac{\pi }{2}$,$\frac{2}{3}$π]是否为函数f(x) = $\sin (x+\frac{\pi }{6})$的递减区间
$\frac{\pi }{2}$+2kπ < $x+\frac{\pi }{6}$ < $\frac{3\pi }{2}$+2kπ
$\frac{\pi }{3}$+2kπ < x < $\frac{4\pi }{3}$+2kπ

[$\frac{\pi }{2}$,$\frac{2}{3}$π] $\subset$ [$\frac{\pi }{3}$+2kπ , $\frac{4\pi }{3}$+2kπ]
$\therefore$ [$\frac{\pi }{2}$,$\frac{2}{3}$π]为函数f(x) = $\sin (x+\frac{\pi }{6})$的递减区间

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例题9: 函数y = 2${\cos }^{2}x$+5$\sin x$ - 4的值域为____
解:
y = 2(1-${\sin }^{2}x$)+5$\sin x$ - 4
y = -2${\sin }^{2}x$+5$\sin x$ - 2
令t = sinx, t$\in$[-1,1]
y = -2t²+5t - 2
函数图像为开口向下,以x = $\frac{5}{4}$为对称轴
[-1,1]在对称轴左边,为增函数
$\therefore$ 当t取1时为最大值, 取-1时为最小值, 分别为1,-9
$\therefore$ 函数y = 2${\cos }^{2}x$+5$\sin x$ - 4的值域为[-9,1]

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例题10: 设f(x) = a$\cos x$+b的最大值是1, 最小值是-3, 则g(x) = b$\sin (ax+\frac{\pi }{3})$的最大值为__1___
解:
画图可知 a=2, b=-1
g(x) = -$\sin (2x+\frac{\pi }{3})$ = -$\sin [2(x+\frac{\pi }{6})]$

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七.正切函数的性质

(1)由诱导公式$\tan (x+\pi )$ = $\tan x$
x $\in$ R, 且x≠$\frac{\pi }{2}$+kπ, k $\in$ Z
可知, 正切函数的周期是π

(2)由诱导公式$\tan (-x)$ = -$\tan x$
x $\in$ R, 且x≠$\frac{\pi }{2}$+kπ, k $\in$ Z
可知, 正切函数是奇函数

(3)观察正切曲线可知, 正切函数在区间(-$\frac{\pi }{2}$+kπ, $\frac{\pi }{2}$+kπ) k $\in$ Z上单调递增

(4)对称中心: ($\frac{\pi }{2}$k, 0) k $\in$ Z, 值域为R

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例题11: 求函数y = $\tan (\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{3})$的定义域, 周期及单调区间
定义域: $\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{3}$ ≠ $\frac{\pi }{2}$+kπ
整理得: x ≠ $\frac{1}{3}$+2k (k $\in$ Z)

周期: 最小正周期 = $\frac{周期}{|w|}$ = $\frac{\pi }{\frac{\pi }{2}}$ = 2

单调区间: -$\frac{\pi }{2}$+kπ $\le$ $\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{3}$ $\le$ $\frac{\pi }{2}$+kπ
整理得: -$\frac{5}{3}$+2k $\le$ x $\le$ $\frac{1}{3}$+2k

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例题12: 函数y = $\tan x$ (-$\frac{\pi }{4}$ $\le$ x $\le$ $\frac{\pi }{4}$ 且x≠0)的值域是____
(-$\frac{\pi }{4}$ $\le$ x $\le$ $\frac{\pi }{4}$) $\in$ (-$\frac{\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}$)
所以值域为: (-1,0) $\cup$ (0,1)

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例题13:
(1) 求函数 y=$\tan (\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{4})$的单调区间
-$\frac{\pi }{2}$+kπ $\le$ $\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{4}$ $\le$ $\frac{\pi }{2}$+kπ
整理得
-$\frac{\pi }{2}$+2kπ $\le$ x $\le$ $\frac{3\pi }{2}$+2kπ
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(2)比较$\tan (-\frac{13\pi }{4})$与$\tan (-\frac{12\pi }{5})$的大小
$\tan (-\frac{13\pi }{4})$ = $\tan (-\frac{13\pi }{4}+3\pi )$ = $\tan (-\frac{\pi }{4})$
$\tan (-\frac{12\pi }{5})$ = $\tan (-\frac{12\pi }{5}+2\pi )$ = $\tan (-\frac{2\pi }{5})$
($-\frac{\pi }{4}$ $\le$ x $\le$ $-\frac{2\pi }{5})$) $\in$ (-$\frac{\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}$) 单增
$\tan (-\frac{\pi }{4})$ > $\tan (-\frac{2\pi }{5})$

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例题14: 若f(x) = $\tan (x+\frac{\pi }{4})$, 则判断f(0), f(-1), f(1)的大小
画图可知
f(0) > f(-1) > f(1)