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三角函数恒等式

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三角函数恒等式三角函数证明 三角恒等式

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1：两角和与差的几何证明

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三角恒等式是数学中的基本恒等式，涉及三角函数。以下是一些常见的三角恒等式：

基本恒等式

  1. sin ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x = 1 \sin^2 x + \cos^2 x = 1 sin2x+cos2x=1
  2. tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} tanx=cosxsinx​
  3. cot ⁡ x = cos ⁡ x sin ⁡ x \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} cotx=sinxcosx​

两角和与差

  1. sin ⁡ ( x + y ) = sin ⁡ x cos ⁡ y + cos ⁡ x sin ⁡ y \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny
  2. sin ⁡ ( x − y ) = sin ⁡ x cos ⁡ y − cos ⁡ x sin ⁡ y \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y sin(x−y)=sinxcosy−cosxsiny
  3. cos ⁡ ( x + y ) = cos ⁡ x cos ⁡ y − sin ⁡ x sin ⁡ y \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y cos(x+y)=cosxcosy−sinxsiny
  4. cos ⁡ ( x − y ) = cos ⁡ x cos ⁡ y + sin ⁡ x sin ⁡ y \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y cos(x−y)=cosxcosy+sinxsiny
  5. tan ⁡ ( x + y ) = tan ⁡ x + tan ⁡ y 1 − tan ⁡ x tan ⁡ y \tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} tan(x+y)=1−tanxtanytanx+tany​
  6. tan ⁡ ( x − y ) = tan ⁡ x − tan ⁡ y 1 + tan ⁡ x tan ⁡ y \tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y} tan(x−y)=1+tanxtanytanx−tany​

双角恒等式

  1. sin ⁡ 2 x = 2 sin ⁡ x cos ⁡ x \sin 2x = 2 \sin x \cos x sin2x=2sinxcosx
  2. cos ⁡ 2 x = cos ⁡ 2 x − sin ⁡ 2 x \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x cos2x=cos2x−sin2x
  3. cos ⁡ 2 x = 2 cos ⁡ 2 x − 1 \cos 2x = 2 \cos^2 x - 1 cos2x=2cos2x−1
  4. cos ⁡ 2 x = 1 − 2 sin ⁡ 2 x \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x cos2x=1−2sin2x
  5. tan ⁡ 2 x = 2 tan ⁡ x 1 − tan ⁡ 2 x \tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x} tan2x=1−tan2x2tanx​

半角恒等式

  1. sin ⁡ 2 x = 1 − cos ⁡ 2 x 2 \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} sin2x=21−cos2x​
  2. cos ⁡ 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} cos2x=21+cos2x​

乘积到和

  1. sin ⁡ x sin ⁡ y = 1 2 [ cos ⁡ ( x − y ) − cos ⁡ ( x + y ) ] \sin x \sin y = \frac{1}{2}[\cos(x - y) - \cos(x + y)] sinxsiny=21​[cos(x−y)−cos(x+y)]
  2. cos ⁡ x cos ⁡ y = 1 2 [ cos ⁡ ( x − y ) + cos ⁡ ( x + y ) ] \cos x \cos y = \frac{1}{2}[\cos(x - y) + \cos(x + y)] cosxcosy=21​[cos(x−y)+cos(x+y)]
  3. sin ⁡ x cos ⁡ y = 1 2 [ sin ⁡ ( x + y ) + sin ⁡ ( x − y ) ] \sin x \cos y = \frac{1}{2}[\sin(x + y) + \sin(x - y)] sinxcosy=21​[sin(x+y)+sin(x−y)]

这些恒等式在解决三角问题时非常有用，也是许多数学、物理和工程问题的基础。

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今天的文章 三角函数恒等式分享到此就结束了，感谢您的阅读。
编程小号
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