1、什么是完全数

        完全数（Perfect number）是一些特殊的自然整数。完全数等于其所有因子的和。这里所谓的因子是指所有可以整除这个数的数，而不包括该数本身。

        完全数的基本规则和性质，以及判断完全数的算法。

        其实谈到完全数，与之相关的两个概念便是亏数和盈数。

        一般来说，通过其所有真因子的和来判断一个自然数是亏数、盈数及完全数。

        ・当一个自然数的所有真因子的和小于该自然数，那么该自然数便是亏数；

        ・当一个自然数的所有真因子的和大于该自然数，那么该自然数便是盈数；

        ・当一个自然数的所有真因子的和等于该自然数，那么该自然数便是完全数。

        例如，4的所有真因子包括1和2，而4>1+2，所以4是一个亏数；6的所有真因子包括1、2、3，而6=1+2+3，因此6是一个完全数；12的所有真因子包括1、2、3、4、6，而12<1+2+3+4+6，所以12是一个盈数。

        下面举几个典型的完全数的例子：        

        6=1+2+3

        28=1+2+4+7+14

        496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

        8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

2、完全数的性质

        对于完全数的研究，可以追溯到公前6世纪。当时，毕达哥拉斯已经发现6和28是完全数。到目前为止，总共找到47个完全数。而寻找完全数是比较困难的，完全数的值越来越大，有时候需要借助高速的计算机来寻找。在所有的自然数中总共有多少个完全数，至今仍然是个谜，许多数学家在为之奋斗。另外，奇特的是，目前所有发现的完全数都是偶数，到底是否存在奇数的完全数也是一个谜。

        1）每一个完全数都可以表示成连续自然数的和

        每一个完全数都可以表示成连续自然数的和，这些自然数并不一定是完全数的因数。

        例如：6=1+2+3

        28=1+2+3+4+5+6+7

        496=1+2+3+4+…+29+30+31

        2）每一个完全数都是调和数

        如果一个正整数的所有因子的调和平均是整数，那么这个正整数便是调和数。而每一个完全数都是调和数，例如：

        对于完全数6来说，1/1+1/2+1/3+1/6=2

        对于完全数28来说，1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2

        3）每一个完全数都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和

        每一个完全数都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，例如：

        6=2^1+2^2

        28=2^2+2^3+2^4

        8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12

        4）已知的完全数都是以6或者8结尾

        已知的完全数都是以6或者8结尾，例如，6、28、496、8128、等。从这里也可以看出，已知的每一个完全数都是偶数，但还没有严格证明没有奇数的完全数。

        5）除6之外的完全数都可以表示成连续奇立方之和

        除6之外的完全数都可以表示成连续奇立方之和，例如：

        28=1^3+3^3

        496=1^3+3^3+5^3+7^3

        8128=1^3+3^3+5^3+…+15^3

3、计算完全数算法

        一个简单的解决方案是遍历从1到n-1的每个数字，并检查它是否是除数。保持所有除数之和。如果 sum 等于 n，则返回 true，否则返回 false。

        一个有效的解决方案是遍历数字直到n的平方根。如果一个数字“i”除以n，则将“i”和 n/i 加起来。 

（1）c++

// C++ program to check if a given number is perfect // or not #include<iostream> using namespace std; // Returns true if n is perfect bool isPerfect(long long int n) { // To store sum of divisors long long int sum = 1; // Find all divisors and add them for (long long int i=2; i*i<=n; i++) { if (n%i==0) { if(i*i!=n) sum = sum + i + n/i; else sum=sum+i; } } // If sum of divisors is equal to // n, then n is a perfect number if (sum == n && n != 1) return true; return false; } // Driver program int main() { cout << "Below are all perfect numbers till 10000\n"; for (int n =2; n<10000; n++) if (isPerfect(n)) cout << n << " is a perfect number\n"; return 0; } 

（2）Java

//检查给定数字是否完美的Java程序 class WQS { // Returns true if n is perfect static boolean isPerfect(int n) { // To store sum of divisors int sum = 1; // Find all divisors and add them for (int i = 2; i * i <= n; i++) { if (n % i==0) { if(i * i != n) sum = sum + i + n / i; else sum = sum + i; } } // If sum of divisors is equal to // n, then n is a perfect number if (sum == n && n != 1) return true; return false; } // Driver program public static void main (String[] args) { System.out.println("Below are all perfect" + "numbers till 10000"); for (int n = 2; n < 10000; n++) if (isPerfect(n)) System.out.println( n + " is a perfect number"); } } 

（3）C#

class WQS { static bool isPerfect(int n) { // To store sum of divisors int sum = 1; // Find all divisors and add them for (int i = 2; i * i <= n; i++) { if (n % i==0) { if(i * i != n) sum = sum + i + n / i; else sum = sum + i; } } // If sum of divisors is equal to // n, then n is a perfect number if (sum == n && n != 1) return true; return false; } // Driver program static void Main() { System.Console.WriteLine("Below are all perfect" + "numbers till 10000"); for (int n = 2; n < 10000; n++) if (isPerfect(n)) System.Console.WriteLine( n + " is a perfect number"); } } 

（4）Python

# Returns true if n is perfect def isPerfect( n ): # To store sum of divisors sum = 1 # Find all divisors and add them i = 2 while i * i <= n: if n % i == 0: sum = sum + i + n/i i += 1 # If sum of divisors is equal to # n, then n is a perfect number return (True if sum == n and n!=1 else False) # Driver program print("Below are all perfect numbers till 10000") n = 2 for n in range (10000): if isPerfect (n): print(n , " is a perfect number") 

（5）PHP

<?php function isPerfect($n) { // 存储除数之和 $sum = 1; // 找到所有除数并添加它们 for ($i = 2; $i * $i <= $n; $i++) { if ($n % $i == 0) { if($i * $i != $n) $sum = $sum + $i + (int)($n / $i); else $sum = $sum + $i; } } // 如果除数之和等于n，则n是完美数 if ($sum == $n && $n != 1) return true; return false; } echo "Below are all perfect numbers till 10000\n"; for ($n = 2; $n < 10000; $n++) if (isPerfect($n)) echo "$n is a perfect number\n"; ?> 

（6）Javascript

<script> function isPerfect(n) { // 存储除数之和 sum = 1; // 找到所有除数并求和 for (let i=2; i*i<=n; i++) { if (n%i==0) { if(i*i!=n) sum = sum + i + n/i; else sum=sum+i; } } // 如果除数之和等于n，则n是完美数 if (sum == n && n != 1) return true; return false; } document.write("Below are all perfect numbers till 10000" + "<br>"); for (let n =2; n<10000; n++) if (isPerfect(n)) document.write(n + " is a perfect number" + "<br>"); </script>