一、概念总结
在本小节中主要涉及到几个名词，并集、交集、全集和补集，我们通过一个表格来看一下它们的概念
我们这里在描述概念时不在复述课本上的描述，而是用自己的话来描述，更加容易理解
| 名称 | 概念 | 表示符号 |
|---|---|---|
| 并集 | 把两个集合的所有素合并在一起组成的集合叫做两个集合的并集 | ∪ \cup ∪ |
| 交集 | 两个集合的公共素构成的集合叫做两个集合的交集 | ∩ \cap ∩ |
| 全集 | 给定的所有素的集合叫做全集 | U U U |
| 补集 | 全集 U U U中不属于某个集合的全部素构成的集合叫做这个集合的补集 | C u A C_uA CuA |
二、从Venn图理解概念
在第一节的介绍中我们提到了一种集合的表示方法Venn图，它可以让我们直观地看到两个集合之间的关系，下面我们尝试从Venn图的角度来分析一下并集、交集、全集和补集这几个概念。
2.1 全集
我们首先来理解一下全集，给定的所有素可以叫做全集，或者说我们要研究的全部研究对象构成的一个集合也叫做全集，比如我给出一个四边形，它内部的区域就是我们全部的研究对象，那么这个四边形就可以看作一个全集
2.2 并集
假设有两个集合，分别是集合A和集合B，我们把集合A和集合B全部素构成的集合称为并集
图上集合A和集合B的两部分区域加起来就是集合A和集合B的并集，记作 A ∪ B A \cup B A∪B。
我们来举一个更加形象的例子，集合 A = { 1 , 2 , 3 } A = \{1,2,3\} A={ 1,2,3}，集合 B = { 4 , 5 , 6 } B = \{4,5,6\} B={ 4,5,6}，此时 A ∪ B A \cup B A∪B是什么？很明显，并集是集合A和集合B所有素合在一起构成的集合，所以 A ∪ B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\} A∪B={ 1,2,3,4,5,6}。
2.3 交集
还是假设有两个集合，分别是集合A和集合B，两个集合的公共素构成的集合叫做交集，我们可以尝试画一下Venn图
图中A和B相交的部分就是集合A和集合B的交集，记作 A ∩ B A \cap B A∩B。
我们还是来举一个更加形象的例子，集合 A = { 1 , 2 , 3 } A = \{1,2,3\} A={ 1,2,3}，集合 B = { 3 , 4 , 5 } B = \{3,4,5\} B={ 3,4,5}，此时 A ∩ B A \cap B A∩B是什么？很明显，两个集合的公共素构成的集合叫做交集，所以 A ∩ B = { 3 } A \cap B = \{3\} A∩B={ 3}。
2.4 补集
最后我们来介绍一下补集，全集 U U U中不属于某个集合的全部素构成的集合叫做补集，假设我们有一个集合A，全集U中属于集合A的其余素构成的集合叫做集合A的补集
三、一些结论
下面我们来介绍一些关于并集、交集、全集和补集的结论，可以尝试用Venn图来思考一下为什么
- A ∪ A = A （ A 并 A 等于 A ） A \cup A = A（A并A等于A） A∪A=A（A并A等于A）
- A ∪ ∅ = A （ A 并空集等于 A ） A \cup \emptyset = A（A并空集等于A） A∪∅=A（A并空集等于A）
- A ∩ A = A （ A 交 A 等于 A ） A \cap A = A（A交A等于A） A∩A=A（A交A等于A）
- A ∩ ∅ = ∅ （ A 交空集等于空集） A \cap \emptyset = \emptyset（A交空集等于空集） A∩∅=∅（A交空集等于空集）
- A ∪ B = B ∪ A （ A 并 B 等于 B 并 A ） A \cup B = B \cup A（A并B等于B并A） A∪B=B∪A（A并B等于B并A）
- A ∩ B = B ∩ A （ A 交 B 等于 B 交 A ） A \cap B = B \cap A（A交B等于B交A） A∩B=B∩A（A交B等于B交A）
- A ∪ B ⊇ A （ A 并 B 包含 A ） A \cup B \supseteq A（A并B包含A） A∪B⊇A（A并B包含A）
- A ∪ B ⊇ B （ A 并 B 包含 B ） A \cup B \supseteq B（A并B包含B） A∪B⊇B（A并B包含B）
- A ∩ B = A ⇔ A ⊆ B （ A 交 B 等于 A 等价于 A 包含于 B ） A \cap B = A \Leftrightarrow A \subseteq B（A交B等于A等价于A包含于B） A∩B=A⇔A⊆B（A交B等于A等价于A包含于B）
- A ∪ B = A ⇔ A ⊇ B （ A 并 B 等于 A 等价于 A 包含 B ） A \cup B = A \Leftrightarrow A \supseteq B（A并B等于A等价于A包含B） A∪B=A⇔A⊇B（A并B等于A等价于A包含B）
- A ∪ C u A = U （ A 并 A 的补集等于全集） A \cup C_uA = U（A并A的补集等于全集） A∪CuA=U（A并A的补集等于全集）
- A ∩ C u A = ∅ （ A 交 A 的补集等于空集） A \cap C_uA = \emptyset（A交A的补集等于空集） A∩CuA=∅（A交A的补集等于空集）
- C u ( C u A ) = A （ A 的补集的补集等于 A ） C_u(C_uA) = A（A的补集的补集等于A） Cu(CuA)=A（A的补集的补集等于A）
虽然上面这些结论看起来很多，但是呢它确实很多（开个玩笑），虽然他们确实很多，但是万变不离其宗，只要我们清晰地理解的并集、交集、全集和补集的概念，能够学会使用Venn图来分析，那么以后遇到其他类似的结论，判断起来也不成问题。
今天的文章 【数学(一)集合与常用逻辑用语】集合的基本运算分享到此就结束了，感谢您的阅读。
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