线性代数——矩阵的逆

线性代数—矩阵的逆

1、计算二阶矩阵的逆

[a c b d] - 1 = 1 a d - b c [d - c - b a]

$\left[\begin{matrix} a & b\\c & d \end{matrix}\right]^{-1}= \frac{1}{ad-bc}\left[\begin{matrix} d & -b\\-c & a \end{matrix}\right]$

2、计算矩阵的逆（余子式法）

A = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 101021151 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥

$A=\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 1\\0 & 2 & 5\\1 & 1 & 1 \end{matrix}\right]$

矩阵A的余子式（matrix of minors）
$B = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∣ ∣ ∣ 2151 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0111 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0215 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0151 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1111 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1015 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0121 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1101 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1002 ∣ ∣ ∣ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ - 3 - 1 - 2 - 5 05 - 2 12 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥$ $B= \left[\begin{matrix} {\left|\begin{matrix}2 & 5\\1 & 1\end{matrix}\right|} & {\left|\begin{matrix}0 & 5\\1 & 1\end{matrix}\right|} & {\left|\begin{matrix}0 & 2\\1 & 1\end{matrix}\right|} \\ {\left|\begin{matrix}0 & 1\\1 & 1\end{matrix}\right|} & {\left|\begin{matrix}1 & 1\\1 & 1\end{matrix}\right|} & {\left|\begin{matrix}1 & 0\\1 & 1\end{matrix}\right|} \\ {\left|\begin{matrix}0 & 1\\2 & 5\end{matrix}\right|} & {\left|\begin{matrix}1 & 1\\0 & 5\end{matrix}\right|} & {\left|\begin{matrix}1 & 0\\0 & 2\end{matrix}\right|} \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} -3 & -5 & -2\\-1 & 0 & 1\\-2 & 5 & 2 \end{matrix}\right]$
矩阵A的代数余子式（matrix of cofactors）
$C = B \times ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ + - + - + - + - + ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ - 3 1 - 2 50 - 5 - 2 - 1 2 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥$ $C=B\times \left[\begin{matrix} {+} & {-} & {+}\\- & + & -\\+ & - & + \end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix} -3 & 5 & -2\\1 & 0 & -1\\-2 & -5 & 2 \end{matrix}\right]$
矩阵A的伴随矩阵（the adjoint of matrix）
$A * = C T = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ - 3 5 - 2 10 - 1 - 2 - 5 2 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥$ $A^*=C^T= \left[\begin{matrix} -3 & 1 & -2\\5 & 0 & -5\\-2 & -1 & 2 \end{matrix}\right]$
矩阵A的行列式
$| A | = + A 11 B 11 - A 12 B 12 + A 13 B 13 = - 5 | A | = - A 21 B 21 + A 22 B 22 - A 23 B 23 = - 5 | A | = + A 31 B 31 - A 32 B 32 + A 33 B 33 = - 5$ $|A|=+A_{11}B_{11}-A_{12}B_{12}+A_{13}B_{13}=-5\\ |A|=-A_{21}B_{21}+A_{22}B_{22}-A_{23}B_{23}=-5\\ |A|=+A_{31}B_{31}-A_{32}B_{32}+A_{33}B_{33}=-5$
矩阵A的逆（the inverse of matrix）
$A - 1 = 1 | A | A * = - 1 5 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ - 3 5 - 2 10 - 1 - 2 - 5 2 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥$ $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=-\frac{1}{5} \left[\begin{matrix} -3 & 1 & -2\\5 & 0 & -5\\-2 & -1 & 2 \end{matrix}\right]$

3、计算矩阵的逆（行初等变换法）

每作一次初等行变换，就相当于给增广矩阵的左侧和右侧分别左乘一个初等变换矩阵，当左侧变为单位矩阵时，右侧就变为原矩阵的逆矩阵。

4、解线性方程组

{3 a + 2 b = 7 - 6 a + 6 b = 6 可 表 示 为 [3 - 6 26] [a b] = [76]

$\begin{cases} 3a+2b=7\\ -6a+6b=6 \end{cases}\ \ \ \ 可表示为\ \left[\begin{matrix}3 & 2\\-6 & 6\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right]$

[a b] = [3 - 6 26] - 1 [76] = [12]

$\left[\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}3 & 2\\-6 & 6\end{matrix}\right]^{-1} \left[\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$

5、子空间窥探

已知

a ⃗ = [3 - 6], b ⃗ = [26], c ⃗ = [76]

$\vec{a}=\left[\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right],\ \ \vec{b}=\left[\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right],\ \ \vec{c}=\left[\begin{matrix}7\\6\end{matrix}\right]$
问是否存在系数

x,y $x,y$ 使得

a ⃗ x + b ⃗ y = c ⃗

$\vec{a}x+\vec{b}y=\vec{c}$
求解可得

[x y] = [12]

$\left[\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$
这可以理解为，在向量a和b所张成的子空间中，向量c的坐标为(1,2)

6、判断矩阵是否可逆

A - 1 = 1 | A | A *

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$
由上述定义可知，当

|A|=0 $|A|=0$ 时，矩阵

A $A$ 的逆不存在。下面以二阶矩阵为例来阐述其背后的原因，设

A = [a c b d]

$A=\left[\begin{matrix} a & b\\c & d \end{matrix}\right]$
如果

|A|=ad−bc=0 $|A|=ad-bc=0$ ，则有

a c = b d 或 者 a b = c d

$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\ \ \ \ 或者\ \ \ \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
因次，下列线性方程组无解

[a c b d] [x y] = [e f] = > {a x + b y = e c x + d y = f = > {y = - a b x + e b y = - c d x + f d

$\left[\begin{matrix}a & b\\c & d\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right]= \left[\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right] =>\begin{cases} ax+by=e\\ cx+dy=f \end{cases} =>\begin{cases} y=-\frac{a}{b}x+\frac{e}{b}\\ y=-\frac{c}{d}x+\frac{f}{d} \end{cases}$

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线性代数——矩阵的逆