微表面模型GGX/Trowbridge-Reitz概率密度函数的推导

编程基础 • 2024-12-11 14:06 • 阅读 9

先说明一下，我们平常说的GGX的正确技术名称就是trowbridge-Reitz。

各向同性GGX

微表面的法线分布定义如下：

$\int _{\Omega }D(h)\cos\theta _hdh = 1$

其中D(h)是法线分布函数，cosθh是N dot h。

$p(h) = D(h) \cos \theta _h = \frac{\alpha ^2 \cos\theta _h}{\pi\left ( \left ( \cos\theta_h \right )^2(\alpha ^2-1) + 1 \right )^2}$

根据概率密度函数的转换：p(θ, φ) = sinθp(ω)

$p(\theta, \phi) = \frac{\alpha ^2 \cos\theta \sin\theta}{\pi\left ( \left ( \cos\theta \right )^2(\alpha ^2-1) + 1 \right )^2}$

根据边际概率密度：

$p(\theta) = \int _{0}^{2\pi} p(\theta, \phi)d\phi = \int _{0}^{2\pi}\frac{\alpha ^2 \cos\theta \sin\theta}{\pi\left ( \left ( \cos\theta \right )^2(\alpha ^2-1) + 1 \right )^2} d\phi = \frac{2\alpha ^2 \cos\theta \sin\theta}{\left ( \left ( \cos\theta \right )^2(\alpha ^2-1) + 1 \right )^2}$

求条件概率：

$p(\phi |\theta) = \frac{p(\phi, \theta)}{p(\theta)} = \frac{1}{2\pi}$

分别求θ和φ的概率累积函数：

$\int _{0}^{\theta}p(\theta)d\theta =\int _{0}^{\theta}\frac{2\alpha ^2 \cos\theta \sin\theta}{\left ( \left ( \cos\theta \right )^2(\alpha ^2-1) + 1 \right )^2}d\theta \\= \frac{\alpha ^2}{(\alpha ^2-1)(1 + \cos^2\theta(\alpha ^2-1))} - \frac{1}{\alpha ^2 -1} = \xi _0$

上面的积分非常难求，我在Symbolab 数学求解器 - 分步计算器上解出来。

通过代数求得：

今天的文章微表面模型GGX/Trowbridge-Reitz概率密度函数的推导分享到此就结束了，感谢您的阅读。

微表面模型GGX/Trowbridge-Reitz概率密度函数的推导

各向同性GGX

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