零点分段讨论法

零点分段讨论法将一个式子 绝对值下的算式 的值设为 0 求出未知数的范围 再求解

概念 :

        将一个式子(绝对值下的算式)的值设为0,求出未知数的范围,再求解。

作用:

        化简拥有未知数的式子,将未知数的范围确定,分类讨论每一段,将每一个范围绝对值的正负性,拆开绝对值的符号,解方程,化简式子。

具体可以分为以下几段:

  1. 设零点:将所有式子的绝对值的结果设为零。
  2. 定区间:解出每个式子未知数的值,将其表达在数轴上面,分出多个区间。
  3. 求性质:目光聚焦到每个区间上,通过未知数的范围求出绝对值下的每个式子的正负性,得出方程。
  4. 解方程:解出方程(格式:原式 = xxx)。
  5. 解答:写下每个范围下化简的式子。(格式:综上所述,原式 = 化简的式子(未知数的范围))

例题:

        化简 :| x + 5 |  +  | 2x - 3 |

        设零点 , 得出方程:x + 5 = 0, 2x - 3 = 0。

        解得:x1 = -5, x2  = \frac{3}{2}

        分 3 种情况讨论:

  1.   x < -5 :  | x + 5 |  <  0   ,    | 2x - 3 |   <   0,  原式  =   - x - 5 - 2x + 3  , 解得:原式  =  -2x -2
  2.  \frac{3}{2}  >  x  >=  -5  :    | x + 5 |  >  0   ,    | 2x - 3 |   <   0, 原式 = x + 5 - 2x + 3,解得:原式  =  -x  + 8
  3. x  >=  \frac{3}{2}  : | x + 5 |  >  0   ,    | 2x - 3 |   >   0  ,原式  =  x  +  5  +  2x  -  3 , 解得:原式  =  3x - 2 

综上所述:原式  =   -2x-2 ( x < -5)   原式  =  -x + 8 (  \frac{3}{2}  >  x  >=  -5 )  原式  =  3x - 2 ( x >=  \frac{3}{2} )

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编程小号
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