2025年数学基础 -- 双曲函数

双曲函数

双曲函数（Hyperbolic Functions）是一类与双曲线相关的函数，它们在数学中有广泛的应用，特别是在微积分、复变函数和物理学中。双曲函数类似于三角函数，但它们与单位双曲线（而不是单位圆）相关。

主要的双曲函数

1. 双曲正弦函数（sinh x）

双曲正弦函数的定义为：

$\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$

图像形状类似于正弦函数，但不同于正弦函数的是，它在原点对称，且随着 ( x ) 绝对值的增大而指数增长。

2. 双曲余弦函数（cosh x）

双曲余弦函数的定义为：

$\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

图像形状类似于余弦函数，但它总是大于等于 1，并且在原点关于 $y$ 轴对称。

3. 双曲正切函数（tanh x）

双曲正切函数的定义为：

$\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

图像形状类似于正切函数，但它有两个水平渐近线 $y = 1$ 和 $y = - 1$ 。

4. 双曲余切函数（coth x）

双曲余切函数的定义为：

$\coth(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$

与正切函数相似，但它有两个垂直渐近线 $x = 0$ ，并且它的范围是 $(-\infty, -1)$ 和 $\infty)$ 。

5. 双曲正割函数（sech x）

双曲正割函数的定义为：

$\text{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)}$

它的值在 $(0, 1]$ 之间。

6. 双曲余割函数（csch x）

双曲余割函数的定义为：

$\text{csch}(x) = \frac{1}{\sinh(x)}$

它的值范围是 ( (-\infty, -1) ) 和 ( (1, \infty) )。

双曲函数的常用法则与使用场景

1. 常用恒等式

双曲函数有许多类似于三角函数的恒等式。以下是一些常见的双曲函数恒等式：

(1) 类似于三角恒等式的双曲函数恒等式

双曲余弦与双曲正弦的平方恒等式：
$cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$
双曲正切函数与双曲正弦函数的关系：
$\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$
双曲余切函数与双曲余弦函数的关系：
$\coth(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}$

(2) 双曲函数的导数

双曲正弦函数的导数：
$\frac{d}{dx} \sinh(x) = \cosh(x)$
双曲余弦函数的导数：
$\frac{d}{dx} \cosh(x) = \sinh(x)$
双曲正切函数的导数：
$\frac{d}{dx} \tanh(x) = 1 - \tanh^2(x) = \text{sech}^2(x)$

(3) 双曲函数的积分

双曲正弦函数的积分：
$\int \sinh(x) \, dx = \cosh(x) + C$
双曲余弦函数的积分：
$\int \cosh(x) \, dx = \sinh(x) + C$
双曲正切函数的积分：
$\int \tanh(x) \, dx = \ln(\cosh(x)) + C$

2. 使用场景

双曲函数在许多数学、物理和工程问题中都有重要应用。以下是一些常见的使用场景：

(1) 悬链线问题

悬链线是指悬挂在两个支点之间的柔性链条在重力作用下所形成的曲线。其形状由双曲余弦函数描述：

$\cosh\left(\frac{x}{a}\right)$

其中， $a$ 是常数，表示悬链线的尺度参数。

(2) 相对论中的应用

在狭义相对论中，双曲函数用于描述高速运动物体的时间和空间变换。特别是，快速变换（Lorentz 变换）可以使用双曲正弦和双曲余弦函数来表达。

(3) 复数分析中的应用

双曲函数在复数分析中与三角函数有着深刻的联系。例如，通过欧拉公式，我们可以将双曲函数与复指数函数联系起来：

$\sinh(x) = -i \sin(ix), \quad \cosh(x) = \cos(ix)$

(4) 热传导与波动方程

在解决一些偏微分方程，如热传导方程和波动方程时，双曲函数也经常出现，特别是在边界条件涉及指数增长或衰减的场合。

(5) 电路分析

在交流电路中，某些非线性电路元件（如某些类型的二极管）会产生与双曲函数相关的电流-电压关系。这使得双曲函数在电路分析中的应用变得重要。

反双曲函数

反双曲函数（Inverse Hyperbolic Functions）是双曲函数（如 sinh, cosh, tanh 等）的反函数。与常见的反三角函数类似，反双曲函数通常表示为 arsinh(x)、arcosh(x) 和 artanh(x) 等。

以下是主要的反双曲函数及其定义：

反双曲正弦函数（arsinh）：
$\text{arsinh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$
它是双曲正弦函数 sinh(x) 的反函数。
反双曲余弦函数（arcosh）：
$\text{arcosh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$
它是双曲余弦函数 cosh(x) 的反函数。
反双曲正切函数（artanh）：
$\text{artanh}(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$
它是双曲正切函数 tanh(x) 的反函数。

其他反双曲函数

反双曲余切函数（arcoth）：
$\text{arcoth}(x) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$
反双曲正割函数（arsech）：
$\text{arsech}(x) = \ln\left(\frac{1 + \sqrt{1-x^2}}{x}\right)$
反双曲余割函数（arcsch）：
$\text{arcsch}(x) = \ln\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1}\right)$

这些函数在数学、物理学等领域中广泛应用，特别是在涉及到非线性方程和复杂数的解析计算时。